Bonjour,

J´ai un exercice de spécialité maths que voici :

A = 10^(9n) + 2*10^(6n) + 2*10^(3n) + 1.

1)a) Trouvez, suivant n, le reste de 10^n par 111.

Si n=3k alors 10^n congru à 1[111].

Si n=3k+1 alors 10^n congru à 10[111].
Si n=3k+2 alors 10^n congru à 100[111].

b) Déduisez-en le reste de la division de A par 111.

A congru à 6[111].

2)a) On suppose n impair. Démontrez que A a le même reste dans la division par 7, par 11 et par 13.

J´ai essayé une méthode mais je ne suis vraiment pas sûr puisque j´utilise pas les résultats d´avant...

Après il faudra que je fasse avec "n est pair"...

J´aimerais, si possible, que vous me confirmiez mes réponses et que vous me donniez un coup de pouce pour la suite .

Je vous remercie.
@+
Poun

calcul un coup 7*11*13... tu vas avoir une belle surprise

oui , 1001 va me servir pour la dernière question, mais comment démontrer la 2a ?

Merci

up ^^

help

en fait tu trouveras que 7, 11 et 13 divisent A ; bref donc tu pars sur le principe que n est impair
t´as 10 congru a 3 modulo 7
t´as 10² congru a 2 modulo 7
t´as 10^3 congru a 6 modulo 7
donc 10^3 congru a -1 modulo 7
donc 10^3n congru a -1 modulo 7 car n impair

ensuite tu fais pareil pour le 2*10^6n le reste sera 2, et le reste pour 2*10^3n sera -2
tu trouves A congru a 0 modulo 7

si tu fais pareil pour 11 et 13 normalement tu trouveras qu´ils divisent A voilu =)

pour la dernière faut utiliser le théorème de gauss ac les nbres premiers entre eux, le prof nous avait donné ce dm mais nous avait pas donné le théorème donc en fait on a fait la question mais version bourrin, comme j´t´ai montré ^^

Merci Nicox t super sympa, pour n pair par contre, c´est le même procédé?

oui pour n pair c´est le même procédé

je pense pas appliquer le th de gauss car je suis pas censé le connaitre..

je vois bien que 7*11*13=1001 ms bon..

je pense procéder de la meme manière pr trouver le reste de A ds la div par 1001

oui c´est tout aussi rapide si tu dis que tu reprends les résultats des questions précédentes (oui parce que tout détailler ca prend 5 copies doubles ) en tout cas en ce moment on fait les PGCD c´est bizarre l´algorithme d´euclide oO

chuis en train de chercher qqch de simple:
j´ai déjà trouvé ca, qui a l´air très interessant:

A
= 10^(9n) + 2*10^(6n) + 2*10^(3n) + 1
= (10^(3n) + 1)³ - 10^(6n) - 10^(3n)
= (10^(3n) + 1)³ - 10^(3n)*(10^(3n)+1)
= (10^(3n)+1)(10^(6n)+10^(3n)+1)

je sais qu´il n´y avait pas besoin d´écrire tout ca pour trouver ca, mais chacune des égalités peut être interessante...

En reprenant ma dernière ligne:

On pose (10^(3n)+1) = P(n)
On pose (10^(6n)+10^(3n)+1) = Q(n)

On a donc
A = P(n)*Q(n)
Donc si on prouve que soit P(n) soit Q(n) est multiple de 1001, on aura prouvé que A est multiple de 1001.
Or si 1001 = 7*11*13. Donc cela prouverait que A est divisible par 7 par 11 et par 13, et donc que A a le meme reste pour la division par 7,11 ou 13.

On va montrer par récurence que P(n) est un multiple de 1001 si n est impair:

• • pas initial ***

pour n=1, P(n) = 1001 est divisible par 1001

• • pas récursif ***

Supposons que P(n) est un multiple de 1001.
On a P(k+1) = 1000(P(k)-1)+1 pour tout naturel k.
Donc P(n+2) = 1000(P(n+1)-1)+1
= 1000(1000(P(n)-1)+1-1)+1
= 1000000*P(n) - 1000000 + 1
= 1000000*(un mult de 1001) - 999*1001
est un multiple de 1001

(je cherche mnt pour les cas ou n est pair)

visiblement A n´est pas divisible par 1001 quand n est pair...

je chercher je cherche !

je chercher je chercher mais ca me broute ! pcq là je ne sais plus trop ce que je dois chercher...

dis moi au moins si tu as qqch...

merci bcp de ta gentilesse la duche

en fé pour 1001 j´ai refait la même chose et je trouve qu´il divise A

sinon j´ai un autre exo ms que g bien avancé..

1) déterminez l´ensemble E1 des entiers x tels que le nbre n=x²+x-2 est div par 7.
2) meme chose avec n div par 3.

là c bon

3) déduisez en l´ensemble E des entiers x tels que n est div par 42.
Quel est le plus petit élément positif de E ?

Comment procéder pour la 3ème ?

Merci beaucoup à vous à tout cas

ouais mais le problème c´est que pour n pair, c´est faux...