Bonjour monsieur,
Avant toute chose, pour faire un exercice de géométrie et en l’occurrence pour comprendre plus facilement les démonstrations que je vous propose.
La phrase de la première question n’est pas complète mais je pense avoir compris que le point B doit être construit tel que ABCD soit un parallélogramme. Si tel est bien le cas alors on peut résoudre le problème comme suit :
1) pour placer le point B il suffit de tracer la droite parallèle à (AD) et celle parallèle à (DC). Le point d’intersection de ces deux nouvelles droites donne la position du point B. (En effet, par définition un parallélogramme est un quadrilatère dont les cotés opposés sont parallèles).
2) L’idée est de démontrer que AEBC est aussi un parallélogramme. Si on montre cela alors c’est gagné car dans un parallélogramme les cotés opposés définissent deux vecteurs égaux. Par définition de la droite (EF) donnée dans l’énoncé, on sait que (EB) est parallèle à (AC). Par ailleurs, ABCD étant un parallélogramme, les droites (AD) et (BC) sont parallèles et donc on a également (AE) parallèle à (BC) puisque E appartient à (ED). On a donc à la fois (AC) // (EB) et (AE) // (BC) (le symbole // signifie « parallèle à » ). Donc ACBE est un parallélogramme et donc EB = AC (équation vectorielle). On peut faire exactement la même démonstration pour prouver que ACFB est un parallélogramme et donc que AC = BF (toujours en vecteurs) .
Pour prouver que B est le milieu de EF il faut utiliser la colinéarité des vecteurs EB et EF :
Comme EB = AC et AC = BF alors on a le vecteur EB = BF. Deux vecteurs égaux sont nécessairement colinéaires donc ici E, B et F sont trois points alignés. De plus comme EB = BF (en vecteur) on a EB = BF (sur les longueurs). E, B et F n’étant pas des points confondus, le sens des vecteurs EB = BF impose donc que B soit le milieu de EF.
