Salut à tous !
J´ai un exo de math SPE que je n´arrive pas à faire !J e suis en Terminal S option math.Voici l´énoncé :
1)Montrer que a^5-a (a entier naturel) est divisible par 10.
2) a et b sont deux entiers naturels tels que a superieur ou égal à b .Montrer que si a^5-b^5 est divisible par 10 alors a²-b² est divisible par 20 .

Merci de votre aide !!

1)
a^5-a = a(a^4-1)
On voit dirrectement que a(a^4-1) est pair. En effet, si a est pair, alors c´est bon, et si a est impair, alors a^4-1 est pair.
Il suffit donc de monter que a(a^4-1) est un multiple de 5, pour tout naturel a.

Il y a donc deux cas à traiter:

• soit a est multiple de 5
• soit a n´est pas multiple de 5

Si a est un multiple de 5.
Alors on voit tou de suite que a(a^4-1) est un multiple de 5.

Si a n´est pas un multiple de 5
a peut donc s´écrire sous la forme 5k+b ou k est un naturel et b un naturel compris entre 1 et 4.
On a donc a^4 = (5k+b)^4 = 5*qqch + b^4.
Il suffit donc de montrer que b^4-1 est un multiple de 5 pour tout naturel b compris entre 1 et 4 (ce qui limite agréablement les calculs ^^)
1^4-1 = 1-1 = 0 est un multiple de 5.
2^4-1 = 16-1 = 15 est un multiple de 5.
3^4-1 = 81-1 = 80 est un multiple de 5.
4^4-1 = 256-1 = 255 est un multiple de 5.

CQFD (By Duche )

2)
Si a^5-b^5 est divisible par 10, alors a et b sont de même parité.
Si´ils sont tous les duex pairs, alors a² et b² sont tous les deux des multiples de 4 et a²-b² est un multiple de 4.
S´ils sont tous les deux impairs on peut les écrire comme
a=2A+1 et b=2B+1, et dans ce cas
a²-b² = (2A+1)²-(2B+1)² = 4A²+4A+1-4B²-4B-1 est un multiple de 4.
Ainsi, on a montré que si a^5-b^5 est divisible par 10, alors a²-b² est divisible par 4.

Il reste à montrer que si a^5-b^5 est un multiple de 5, alors a²-b² est également un multiple de 5.
On écrit a=5k+x et b=5q+y ou k et q sont des naturels et ou x et y sont des naturels compris entre 1 et 4.
Il suffit alors de montrer que si x^5-y^5 avec x>=y est un multiple de 5, alors x²-y² l´est aussi (par le même argument que précédemment).
Les seules valeurs que peuvent prendre les x^4 sont:
1^5 = 1
2^5 = 32
3^5 = 243
4^5 = 1024
On voit donc facilement que pour que x^5-y^5 soit un multiple de 5, il faut que x=y, et dans ce cas x²-y² = 0 est un multiple de 5.

CQFD (By Duche )

ps, si tu as vu de la théorie sur les "modulo" alors il y a moyen de résoudre ca à 5 lignes chacun, mais j´ai la flemme de recommencer...

Ami ULBtien

beaucoup le_duche !! !!!
Je vais te venerer tous les soirs maintenant !
En plus t´as repondu super rapidement !! !
Je voulais savoir tu fais quoi comme étude parceque apres avoir resolus ca juste pour m´aider c´est franchement sympa !! !!
!! !!Meme plus que sympa !T ´es un dieu !

Vive grand duche ! gloire et honneur au grand duche !!

Yeahhh

DarK_SaiYeNS01
Je fais des études de math à l´unniversité de Bruxelles (et je suis en 3ème année)

Mais j´affectionne tout particulièrement ce genre de problèmes pcq j´ai fait partie de l´équipe de présélection pour les olympiades internationnales et j´ai recu une formation de 2 ans pour ce genre de problèmes ( sauf que ceux sur lesquels je travaillais etaient +- 10^(10^100000) fois plus durs ) donc celui-ci était un pur automatisme...
si tu veux des exemples... je peux te faire peur

nico6325
Tu es aussi un ULBiste ?
ou encore UCLoix ?
pitêtre que je te connais...

Tu me connais pas je pense
Suis en BA1 à Solvay
(Et puisqu´apparemment t´es amateur des Olympiades, sache que moi également )

Haaa je connais qqun en bac1 solvay et je connais meme ta prof de math (qui est la mère de mon ex...)

nico, prend moi sur msn:
le_grand_duche@hotmail.com

Szafarz ?
Et comment s´appelle cette personne que tu connais ?