J´ai un DM à faire en maths, sur les calculs vectoriels.
Alors, le problème c´est que je ne me souviens plus de la méthode pour démontrer qu´il existe un réel tel que 3 points soient alignés.
Voici les exercices :
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Exercice 1

Soit A (-2;1;1), B (1;3;2), C (a;5;2) et D (-5;0;b).
Peut-on trouver a tel que A, B, C soient alignés ?
Peut-on trouver b tel que A, B, D soient alignés ?
Peut-on trouver a et b tels que B, C, D soient alignés ?

Exercice 2

On considère le tétraèdre de sommets A (3/5 ; 4/5 ; 1), B (1;0;-1), C (12/13 ; 1 ; 5/13) et D (racine carrée de 2;0;0).
Démontrer que les sommets de ce tétraèdre appartiennent à une même sphère de centre O.
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L´exercice 1 si vous pouviez me rapeller juste la méthode, mais l´exercice 2, je pige rien du tout.

1) Pour que A, B et C soit alignés il suffit de montrer que les vecteurs AB et AC sont colinéaires (cad proportionnels)

2) Montre que ||OA|| = ||OB|| = ||OC|| = ||OD||

Ah oui donc je fais juste un tableau de variation du style :
-1 | 2 | 1
a+2| 4 | 1

C´est ça ?

Et pour le 2 je comment on fait ||OA|| = ||OB|| = ||OC|| = ||OD|| ?

Heu, tu calcules simplement AB et AC de composantes = composantes de B - composantes de A et composantes de C - composantes de A
Il faut que les rapports des composantes soient égaux 1 à 1

Pour le 2, tu calcules les normes :
Puisque O est l´origine ses coordonnées sont nulles et ||OA||² = xA² +yA² + zA²

Exercice 1

J´ai trouvé qu´aucun vecteurs n´étaient colinéaires, donc qu´aucun points ne sont alignés.

Exercice 2

Je comprends vraiment pas. On a même pas vu ce que vous dîtes il me semble...

C´est encore moi.

Finalement, j´ai réussi l´exerice 2

On considère le tétraèdre de sommets A (3/5 ; 4/5 ; 1), B (1;0;-1), C (12/13 ; 1 ; 5/13) et D (racine carrée de 2;0;0).
Démontrer que les sommets de ce tétraèdre appartiennent à une même sphère de centre O.

J´ai trouvé que:
OA = √ 2
OB = √ 2
OC = √ 2
OD = √ 2

Les sommets appartiennentdonc bien à la même sphère. Mais comment le prouver ?

Bon bah le code pour la √ n´a pas marché

Racine carrée ! voilà !

Tous les points situés sur la surface d´une sphère sont équidistants du centre de la sphère (cette distance est égale au rayon de la sphère)
Or OA = OB = OC = OD
Donc A, B, C et D sont équidistants de O. Ils sont donc sur la même sphère dont le rayon est V2 (Je te fais confiance pour ce calcul).

beaucoup.
Encore une question, la denière, d´analyse cette fois.

Démontrer qu´il existe deux réels a et b tels que pour tout réel x :
x^4-20x-21=(x+1)(x-3)((x+a)²+b)

Je galère à développer, ça fait toujours des trucs bizarre...

Faut pas développer, au contraire il faut factoriser le terme de gauche.
D´après le terme de droite x = -1 est racine et x = 3 aussi
Vérifions le sur x^4-20x-21
Effectivement cette expression s´annule en -1 et en 3. Elle s´écrit donc :
(x+1)(x-3)(x² + cx + d)
Le terme constant vaut -3d
Donc -3d = -21 => d = 7
Le terme en x vaut (-3c-2d)x = (-3c-14)x
Donc -3c-14 = -20 => c = 2
Donc
(x+1)(x-3)(x² + 2x + 7)= (x+1)(x-3)((x+a)²+b)

Donc x² + 2x + 7 = (x+a)²+b
x² + 2x + 4 - 4 + 7 = (x+a)²+b
x² + 2x + 4 + 3 = (x+a)²+b
(x+2)² + 3 = (x+a)²+b
Donc a = 2 et b = 3

Houla c´est chaud tout ça. J´ai vu un pote qui a fait son truc beaucoup plus rapidement et sans les b, c, d et tout

je pige quedal...

Tout le monde me dit de développer le terme de droite...
Mais je galère aussi...

Dsl, petite erreur de calcul sur la fin :

Donc x² + 2x + 7 = (x+a)²+b
x² + 2x + 1 - 1 + 7 = (x+a)²+b
x² + 2x + 1 + 6 = (x+a)²+b
(x+1)² + 6 = (x+a)²+b
Donc a = 1 et b = 6

Maintenant voilà la technique pour les bourrins :

(x+1)(x-3)((x+a)²+b) = (x² - 2x - 3)(x² + 2ax + a² + b)
= x^4 + 2ax^3 + (a²+b) x² - 2x^3 - 4ax² - 2(a² + b) x - 3x² - 6ax - 3(a²+b)
= x^4 + 2(a-1) x^3 + (a²+b-4a-3) x² - 2(a² + b + 3a) x - 3(a²+b) = x^4-20x-21

Donc 2(a-1) = 0
(a²+b-4a-3) = 0
- 2(a² + b + 3a) = -20
- 3(a²+b) = -21

Et donc a = 1, b = 6

Ok, ok. Merci mec!

De rien