Aller, un petit pb ouvert pour la forme (niveau Terminale S) :

Trouver les fonctions numériques définies et dérivables sur R vérifiant :

qq soit x app à R et qq soit y app à R;
f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy
{
f´(0) = a (ou a est un nombre réel donné)

Merci!

f(x+y) = f(x)+f(y)+2xy
f´(0) = a

f(x) = f(x+0) = f(x)+f(0)+0
=> On sait donc deja que f(0) = 0

f(2x) = f(x+x) = f(x)+f(x)+2x² = 2(f²(x)+x²)
en posant z=2x, on a alors
f(z) = 2f²(z/2)+z²/2

on trouve alors
f´(z) = 2f(z/2)f´(z/2)+z
en prenant z=0 on a
f´(0) = 2f(0)f´(0)+0
comme on a vu plus haut que f(0)=0 on a
f´(0) = 0

Ainsi, si a est différent de 0, il n´y a pas de solution.

le problème est ramené à trouver les fonctions dérivable dans R telles que
f(x+y) = f(x)+f(y)+2xy

une solution évidente est f(z) = z²
en effet, f(x+y) = (x+y)² = x²+y²+2xy = f(x)+f(y)+2xy

Il s´agit mnt de savoir si il y en a d´autres.

Et pour l´instant j´ai un peu de mal...
je poste deja ca, si jamais qqun d´autre a une bonne idée...

Oulala!!! Désolé, mon pc a eu qq petits pb ces temps ci et j´ai pas pu répondre avant. Merci pour ton aide le_duche! Je vais essayer de trouver un peu d´inspiration pour continuer !
Encore merci.