Bonjour tout le monde, j´ai une interro lundi sur les composée de fonctions, ce n´est pas tres dur, mais il y a quand meme quelque chose que je n´ai pas tres bien compris.

voila c´est a propos de la variation de croissance de la composée de deux fonction.

Ma prof de math nous a donné la definition suivante:

Si F et G sont deux fonction telle que la fonction F soit monotone sur un interval I et la fonction G soit monotone sur l´interval F(I), alor:
-si F et G ont le meme sens de variation alors la fonction (G o F) est croissante sur l´interval I.
-si F et G ont des sens de variations contraire alors (G o F) ets décroissante sur l´interval I

bien belle definition dirons nous^^
seulement je n´ai pas tres bien compris le pourquoi de cette definition.

Donc si une ame charitable pouvait m´expliquer (même briemevement ) ca serait vraiment gentil.

d´avance

c´est pas une definition, c´est une propriete...

essaye sur quelques exemples si t´es pas convaincu

je suis tout a fait convaincu que c´est bon, et j´ai deja fait differente exercice la dessus.
mais ce que je ne sais pas, c´est demontrer cette propriété ( et je sens qu´il y aura ca a l´interro )
j´ai un exemple mais je ne sais pas comment trouver la démonstration.

voila ou j´en suis.

je prend deux fonction:
f: x-> x-2
g: g-> x^2
(G o F)(x) = g(f(x)) = g(x-2) = (x-2)^2

f est croissante sur R
---------
g est decroissante sur ]-infini;0[, croissante sur ]0;+infini[ et admet un minimum en {0}
---------

donc d´apres la propriete:

(G o F) est decroissante sur ]-infini;0[, croissante sur ]0;+infini[ et admet un minimum en {0}
--------

seulement, je ne trouve pas la démonstration comme dit plus haut.

si quelqu´un sait comment faire

mais quand meme de ta reponse.

Pour demontrer qu´une fonction est croissante ou decroissante tu utilise ceci :

soit x1 et x2 deux réels tels que x1<x2 (pour le domaine ca depend de tes fonctions)

x1<x2
et ensuite tu appliques tes fonctions et suivant les regles des inégalités, tu te retrouve avec f(x1)<f(x2) donc la fonction est croissante ou l´inverse et dans ce cas ta fonction est decroissante...

nous en cours cette propriété on l´a demontrée dans le cas général avec cette methode mais ca sert pas à grand chose en tout cas ca m´étonnerai que tu aie ca a demontrer.
admets cette propriété et point barre ca devrait aller...

Faut juste savoir l´appliquer et

Ecris plutôt "intervalle" que "interval", même si ton prof de maths n´est pas un ayatollah de l´orthographe, ça lui fera mal...

A propos de ta démo :
Soient F une fonction strictement croissante et G une fonction strictement décroissante, de domaine de définition respectivement I et F(I).
Soit x,y dans I tels que x<y.
F étant croissante, F(x)<F(y).
G étant décroissante, G(F(x))>G(F(y)).
D´où pour tout x<y dans I, GoF(x)>GoF(y) c´est-à-dire que GoF est décroissante.
Tu peux effectuer un raisonnement analogue dans les autres cas...

merci pour vos réponses

je vais bien lire ce que vous avez mis pour encrez ca dans ma tete