Salut ^^

1) u est un nombre complexe tel que |u| = 1, u =/= 1 et z est un nombre complexe quelconque.

Montrer que z - u.(conjugué de z) / 1 - u est réel

2) Montrer que si z - u.(conjugué de z) / 1 - u est réel alors z est réel ou |u|=1

Alors pour la question 1, j´arrive à z - u.(conjugué de z) / 1 - u = a

Donc ce nombre est réel car sa partie imaginaire est nulle

Mais pour la question 2 je sais pas trop comment m´y prendre ; j´espère donc une aide de votre part ^^

1) Montre que le conjugué de z - u.(conjugué de z) / 1 - u = z - u.(conjugué de z) / 1 - u :
Utilise :
conjugué de ab = conjugué de a * conjugué de b
Multiplie en haut et en bas par u
Utilise u * conjugué de u = 1 car |u| = 1

2) Prend le pb à l´envers

Je note $z le conjugué de z :

$((z-u$z)/(1-u)) = (z-u$z)/(1-u)

Or $((z-u$z)/(1-u)) = ($z - $u z)/(1 - $u)
= (u $z - u $u z)/(u - u $u)
= (u $u z- u $z )/(u $u - u)
= (|u|² z - u $z)/(|u|² - u)

Donc (|u|² z - u $z)/(|u|² - u)
= (z-u$z)/(1-u)
(|u|² z - u $z)(1-u) = (z-u$z)(|u|² - u)

Développe et simplifie :

(z - $z) u (|u|² - 1)

Donc puisque u non nul z = $z ou |u|² = 1

(z - $z) u (|u|² - 1) = 0

(oublié le = 0)