c´est mon 2000ème message
alors je viens le mettre sur mon ptit topic préféré

Salut le_duche.

Dans un exo sur les matrices, on avait une matrice M donnée, dont on calculait le produit (M-I)(M+3I), égal à la matrice nulle.

Ensuite, la question est, calculer M^n pour n entier naturel.

Puis là, je pige pas tout à la correction.

On fait une sorte de division euclidienne par analogie avec les polynomes :

X^n = Q(X)*(X-1)(X+3)+(aX+b)

Le calcul en 1 et -3 nous donne alors a et b.

Et là il nous dit M^n= Q(M)(M-I)(M+3I) + aM+b
donc M^n=aM+b

Donc, ce que je voudrais savoir, c d´où vient la légitimité de cette démarche.
Du fait que les matrices forment un anneau au meme titre que les polynomes ? Sachant que celui des matrices n´est pas integre...
Ou alors faut comprendre que X est une variable sur les matrices ?

Bon en gros si tu pouvais m´expliquer le pourquoi du comment, ça me ferait bien plaisir stp. Merci d´avance !

J´ai pas le temps mnt pcq j´ai exam cet aprem, mais des que je sors de l´exam (vers 18h) je te rédige un ptit truc...
Mais je t´assure que c´est correcte !

(au passage, si tu pouvais nous donner la matrice M ce serait peut etre plus facile... j´ai pas encore regardé, mais il y a peut-etre bien des conditions sur M...)

Bonne chance pour ton exam le_duche

MERCI !

Dis moi Sharky ? Tu es en quelle option ? à la fac ? en prépa ? en terminale ?
Pcq si je te gave de théorie des anneaux, alors que tu as vaguement abordé la définition tu vas galérer !

puisqu´on est dans les révisions de maths ^^

dans mon dernier DS, j´avais un petit exo sur les courbes paramétrées et j´ai un problème avec l´équation d´une tangente.
Je me souviens que l´on trouve l´équation d´une tangente avec le déterminant
|(x-x0) x´(t)|
|(y-y0) y´(t)| =0

Mais là c´est différent :

Soit E la courbe :
{x=t^2/(1+t^2)
{y=t^3/(1+t^2)

1) étudier et construire E (ca va pas trop dur ^^)

2)a/ Montrer qu´au point E de paramètre t0, la tangente à E a pour équation t0*(t0^2+3)*x-2*y=t0^3

Etant donné que c´est la seconde question de mon DS, c´est censé ne pas être trop compliqué, mais je vois pas là (peut etre que c´est à cause des vacances ^^) ....

J´espère que ton exam s´est bien passé !

mon exam c´est à 14h...
Je te répondrai apres...

Mais c´est quoi un DS ? (belgium power !)

J´suis en prepa, donc bon on a vu les anneaux, on a parlé d´intégrité, de corps, mais bon vite fait.

Mais bon, je suis pres à encaisser de la théorie, parce que son passage matrice>polynome m´a total largué là

le matrice M :
2 -2 1
2 -3 2
-1 2 0

DS = devoir surveillé = controle en cours

sd460

Le but est donc de trouver une droite qui soit tangente à E en (to^2/(1+to^2),to^3/(1+to^2))
Pour n´imorte quelle courbe dont on peut connaitre les coordonnées x et y, le coefficient angulaire de la droite tangente à cette courbe en un point est la dérivée dy/dx de cette courbe en ce point
C´est à dire que pour connaitre la pente de ta courbe en un point défini par to, il suffit de calculer dy/dx :
On a dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
Tu peux facilement calculer
dy/dt =...*calcul de dérivées*...= t^2*(t^2+3)/(t^2+1)^2
dx/dt =...*calcul de dérivée*...= 2t/(t^2+1)^2
Donc
dy/dx = t(t^2+3)/2
La pente de ta courbe en le point déterminé par t = to est donc
to*(to^2+3)/2

Il te suffit mnt de trouver l´équation d´une droite de coefficient angulair to*(to^2+3)/2 passant par le point (x(to),y(to))...

(je te laisse le calcul de la droite... en plus onla donne donc c´est presque terminé...)

J´ai un peu de mal à l´expliquer pcq ca me semble évident (on arrete pas avec les anneaux ) mais je vais essayer d´etre le plus clair possible.

L´ensemble des matrices nxn est un anneau unital
donc l´addition y est commutative, et la multiplication associative. On peut donc créer des polynomes avec les éléments de cet anneau en définissant M^k = M*M*...*M (k fois) et ce polynôme reste le même si on le factorise (comme on multiplie toujours la matrice M avec elle-même, on ne doit pas tenir compte de la non-commutativité du produit matriciel...)

D´autre part, le polynome P(M) garde la meme signification quelle que soit la taille de la matrice... c´est peut-etre ca qui te gène ?
Mais immagine une matrice nxn avec tous des 0 sur sa dernière ligne et sur sa dernière colonne... alors les calculs seront les memes et le polynome restera le meme (meme factorisation). ainsi les racines du polynomes (qui sont des matrices diagonales avec la meme valeur sur la diagonale) restent les memes (à la taille près) pour un meme polynome, quelle que soit la taille de la matrice.

Et tu me diras que ca ne t´aide pas à te ramener aux réels... mais si tun considère des matrices 1x1, tu obtient ton polynome réel...

j´espère que j´ai été assez clair...

j´ai oublié un bout de phrase ^^

Mais immagine une matrice nxn avec tous des 0 sur sa dernière ligne et sur sa dernière colonne... alors les calculs seront les memes et le polynome restera le meme (meme factorisation) POUR UN MATRICE (n-1)x(n-1)

Merci pour ton explication, bon j´ai bien entendu pas tout assimilé, je suis ds la phase "je me pose 1000 questions sur des trucs qui me paraissaient immédiats y a 5 minutes"
Le fait est qu´à mon avis j´ai du mal car on ne peut plus faire l´analogie polynôme>fonction polynomiale.

En fait faut que je me représente mieux ce qu´est une racine d´un polynome, et plus comme la valeur pour laquelle la jolie courbe que je me représente virtuelement passe par 0

Euh, sinon t´aurais pas une autre application fréquente ou on utilisé le meme procédé stp ?

Le recherche des valeurs propres...

Quand tu poses det(M-µI)=0 la matrice M-µI est un polynome du premier degré... et quelle que soit sa taille, ca marchera !
Tu sais surement que det(A*B)=det(A)*det(B)
Ainsi, si tu as un polynome
P(M)=aM^n+bM^(n-1)+...+yM+zI qui peut se factoriser
P(M)=(M-a´I)(M-b´I)...(M-y´I)
alors les valeurs propres de M sont les racine de ce polynome...

le_duche -> merci ! Je regarderais ca plus tard (j´aurais tout le temps de faire des maths après 21h à partir de vendredi prochain ^^)

tiens, pendant que j´y pense, ce matin je suis tombé sur un exo où l´on me demandais d´exprimer la fonction arctan comme composée par arcsin d´une fonction à déterminer....
j´ai pensé à me servir de la dérivée pour trouver une égalité mais j´arrive à rien....
Aurais-tu une idée sur la facon de procéder ?

Vu le nombre d´eleves de prepas qui viennent sur ce forum, je sens qu´a partir de vendredi prochain, le_duche aura du boulot

sd460, comme ça sans vérifier les domaines de définition, je dirais sin(arctan(x)) non ?

ça donne arcsin(sin(arctan(x))) = arctan x ...

non c´est un peu simple ca !! !!

je crois que la question est plutôt trouver une fonction g telle que
arctan(x)=arcsin(g(x));

en fait la solution est :
arctan(x)=arcsin(x/sqrt(1+x^2)) (normalement c´est ca j´ai vérifié avec maple);

Mais je ne sais pas comment le prouver sans connaître la réponse.