bonjour,
je bloque sur cette question:

soit la suite definie par U0 = 1/8 et pour tout n > = 1, Un+1 = Un(2-Un)
montrer que quelque soit n > = 0, 0<Un<1
merci de votre aide

Récurrence ?

Pareil.

justement jarrive pas a la faire

Bah tu étudies au préalable x->x(2-x), et tu montres qu´elle ne prend que des valeurs comprises entre 0 et 1 pour x entre 0 et 1. Ensuite la récurrence est évidente.

U0 = 1/8 donc 0< U0 < 1
On considere que pour un entier naturel n, 0 < Un < 1
On demontre qu´alors 0 < Un+1 < 1
0<Un<1
on multiplie par -1
-1<-Un<0
( 2-1)< ( 2-Un)< ( 2-0)
1<2-Un<2
on multiplie par Un
Un<Un(2-Un)<2Un
Un<Un+1<2Un
or 0<Un<1 et Un+1>Un donc Un+1>1>0
0<Un+1<2Un

il reste le 2Un mais je sais pas comment faire, une idée ?
merci

Mais je t´ai dit comment faire...faut pas demander de l´aide si tu n´essayes pas ce qu´on te propose.

C´est pas compliqué :

ta suite est de la forme Un+1=f(Un)

Tu étudie donc f(x)=x(2-x) puis tu montre très simplement que pour x appartenant à [0,1], f(x) appartient à [0,1]

merci
stp, tu pourrais faire la demonstration rapidement, juste que je comprenne ?
merci

tu dérives f´(x)=2(1-x) puis tu remarques que f(x) est croissante et est une bijection de [0,1] dans[0,1].

et donc ensuite tu montres que c´est vrai au rang 0, puis que si Un appartient a l´intervalle voulu, alors Un+1 aussi ( par l´étude de la fonction f(x)) et donc que c´est vrai quelque soit n dans N.

Je vois pas ou est le problème, Jarozse t´avait tout dit.

f(x)= x(2-x)=-x²+2x
f´(x)= -x+2
sur [0;1] f´ est positive donc f est croissante. Or f(0)=0 et f(1)=1 donc pour tt x de [0;1], f(x) appartient à [0;1]

u0 appartient à [0;1] et Un+1 = f(Un)
donc par reccurence et d´apres l´etude de f :
0 < Un < 1

Je te laisse faire la redaction en detail pour la demo par reccurence
Tu comprends

oui, merci ; )