salut, j´aimerai que quelqu´un m´explique la méthode du changement de variable sur cette integrale :

integrale( 0 à +inf)
1 / [e^(x+1) + e^(3-x)] dx

le changement de variable est phi(x) = e^(x+1)=t
la réponse de l´integrale est pi/4e²

je veux comprendre comment on fait pour trouver avec changement de variable, merci

oups, les bornes sont 1 à +inf, pas 0 à +inf

e^(x+1) = t
phi´(x) dx = dt = e^(x+1) dx = t dx
Donc dx = dt/t
t = e^(x+1) => x = ln t - 1
=> e^(3-x) = e^(3 - ln t + 1)
= e^(4 - ln t)= e^4 e^(-ln t) = e^4 t^(-1) = e^4/t

Quand x = 1 phi(x) = e²
Quand x -> +oo phi(x) -> +oo

Donc l´intégrale I vaut :
I = ( somme de e² à +oo) ( 1/(t + e^4/t)) dt/t)
= ( somme de e² à +oo) ( 1/(t² + e^4)) dt)
= e^(-2)(somme de e² à +oo) ( e^(-2)/(e^(-4)t² + 1)) dt)
= e^(-2)[Arc tan ( t e^(-2))] entre e² et + oo
= e^(-2) ( pi/2 - pi/4)
= e^(-2) pi/4 = pi/(4e²)

merci mais c´est dur oO

il faut juste en faire qqes unes, tu va comprendre

demande toi comment varie t quand x varie entre les bornes de ton integrale