Je désirerais que vous m´apportiez vos lumières sur ce théorème, à seul titre d´information. Par conséqent, je ne désire pas un véritable approfondissement sur ce sujet mais uniquement quelques précisions quant à ce théorème conjecturé par Cantor et démontré par Bernstein.

Je remercie ceux qui daigneront me répondre ; -)

what´s that?????

1°) Google est ton ami.
2°) Je vois pas vraiment ce que tu demandes

Pour la première possibilité que tu m´offres, MaqCanard, sache que j´y ai déjà songé ; -)
Par ailleurs, quant à ta seconde affirmation, je répondrais plus concrètement que je souheterais avoir des explications sur ce sujet.

Juste pour info, il parle de quoi ce théorème?

Le théorème est le suivant : " Si E et F sont deux ensembles tels qu´il existe une injection de E dans F, et une injection de F dans E, alors il existe une bijection de E sur F."
Cantor s´intéressa également aux propriétés de l´infini, et avança qu´il existerait des infinis de tailles différentes.
Par conséquent, j´extrapole ma première demande à celle-ci : pourriez-vous m´apporter des précisions sur les travaux de Cantor, et plus précisément sur les propriétés de l´infini ?

Question subsidiaire, adressée à -descartes-: si on part de l´hypothèse que ce genre de sujet n´est accessible qu´à une frange bien limitée de la population ( je vise là les étudiants en classes prépas principalement), frange de la population qui, je ne pense pas me tromper en le disant, consacre la quasi-totalité de son temps au travail, et donc par induction bien peu de temps aux loisirs dont les jeux-vidéo font partie, et donc encore moins aux forums consacrés à ces loisirs, penses-tu réellement avoir des chances non-négligeables d´être lu et donc d´obtenir une réponse à ta question ici?...
( A propos n´attends pas de moi une réponse à tes questions quand au théorème dont tu parles, je suis en fac de droit ; ) )

En gros, t´as plusieurs types d´infini.

L´infini dénombrable, c´est à dire pour des ensembles comme N ou Z, qui sont discontinus, dont les éléments peuvent être numérotés. Son cardinal, cad grosso modo sa taille est noté aleph 0.

Après tu as les infinis indénombrables, comme R ou C ( ou d´ailleurs n´importe quel ensemble de la forme R^n ou C^n, qui ont même cardinaux, car peuvent être mis en bijection avec R ou C). Ces ensembles sont dits " continus" et leur cardinal est noté aleph 1.

Cantor - je crois - a montré qu´un ensemble ne pouvait pas être mis en bijection avec l´ensemble de ses parties, et que donc le cardinal de l´ensemble de ses parties était forcément supérieur au cardinal de l´ensemble. Il a également montré que P(N) ( l´ensemble des parties de N) était isomorphe à R, cad de cardinal aleph 1.

Par ailleurs, on note également card(P(R)) = aleph 2, card(P(P(R))) = aleph 3 et ainsi de suite.

Cantor a, vers la fin de sa vie, tenté de déterminer s´il existait des ensembles à mi-chemin entre le continu et le discontinu, c´est à dire à peu de choses pres s´il existait un ensemble de cardinal aleph 0.5.

Cette question l´a rendu littéralement fou, et il a fini par en crever, car elle n´a pas de réponse. Les mathématiques modernes travaillent dans l´axiome du continu ( je crois que ça s´appelle comme ça selon ma mémoire) : elles postulent qu´il n´existe RIEN entre aleph0 et aleph1. Cependant, en rejetant cet axiome, on pourrait possiblement imaginer une nouvelle mathématique où il existerait des ensembles de cardinal aleph(a) avec a compris entre 0 et 1. Ceci n´a cependant jamais été fait à ma connaissance, en raison de l´extrême degré d´abstraction requis, mais je crois qu´on a pu prouvé que c´était faisable.

Bref, j´espère avoir été clair, même si je pense bien que tu aurais pu trouver tout ça sur google

" penses-tu réellement avoir des chances non-négligeables d´être lu et donc d´obtenir une réponse à ta question ici?... "

Oui :D. Faut pas croire que les taupins travaillent, ce sont des légendes staliniennes.

Je ne vois pas ce que tu peux demander comme précision sur le théorème en lui-même, à part la démonstration.

Pour la question de l´infini, je crois que Maqcanard a bien résumé la chose. Petite précision au cas où tu ne le saurais pas : isomorphe = en bijection.

Raf241185>>Contrairement à ton postulat, il existe une part relativement importante de personnes, sur ce forum, détenant un niveau de prépa, voire supérieur ( j´entends école d´ingénieur), comme en témoigne le topic " Qui rentre en prépa cette semaine". En outre, certains de ces préparationnaires fréquentent assez régulièrement le forum.

MaqCanard>>Je remercie infiniment ( de quel infini s´agit-il ? ; -)) pour ton explication. Sache, par ailleurs, que si je ne me suis pas uniquement fié à un moteur de recherche, c´était dans le but d´obtenir une explication quelque peu vulgarisée de termes, tels qu´isomorphes ( je remercie également Jarozse au passage), définition que je n´aurais pas nécessairement sur des sites destinés à des élèves en classes préparatoires ( je n´ai que 15 ans).

Maqcanard a expliqué assez clairement les choses.
Mais pour apporter quelques précisions...
Une des principales applications du théorème de Cantor-Bernstein est de pouvoir donner un sens précis à la proposition " L´ensemble E est plus petit que l´ensemble F." car, si il n´y a pas de problème pour des ensembles finis ( un ensemble fini E est plus petit qu´un ensemble fini F si E a moins d´éléments que F), pour les ensembles infinis, c´est plus difficile à concevoir. Ainsi on pose la définition, " l´ensemble E est plus petit que l´ensemble F si il existe une injection de E dans F" Cette nouvelle définition est bien compatible avec la définition naturelle pour les ensembles finis.
Le problème ( a priori ! ), c´est qu´il peut exister une injection de E dans F et une injection de F dans E, c´est-à-dire qu´on peut avoir E plus petit que F et F plus petit que E, c´est pas terrible si les ensembles " n´ont pas le même nombre d´éléments" c´est-à-dire ne sont pas en bijection. Et c´est là qu´intervient le théorème de Cantor-Bernstein, il nous assure que cette bijection existe bel et bien. Et donc notre définition n´est pas complètement stupide.

Sinon méfie-toi du terme isomorphe, c´est une notion un peu plus compliquée que celle de bijection.

" Sinon méfie-toi du terme isomorphe, c´est une notion un peu plus compliquée que celle de bijection."

Certes, mais dans le contexte je pense que c´est le truc à retenir si on ne veut pas détailler ( étant donné qu´il est en seconde).