j´ai un charmant petit dm, dont j´ai trop de mal à faire, alors j´appel la solidarité de JV.com pour que vous puissiez m´aider !

Oyez gente dame et messieurs, voilou l´exo:

Exercice

Soit E1 l’ensemble des points solutions de l’équation différentielle y’ = y
Soit E2 l’ensemble des points solution de l’équation y’’=y‘

Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe une unique fonction f qui appartient à E2, et qui vérifie f(0) = 1 et f’(0) = 0.

1. Vérifier que les fonctions définies sur R par x -> e^x et x -> e^-x sont des éléments de E2.
2. Soit f une fonction deux fois dérivables sur R, on pose u = ƒ+ ƒ’

a) Démontrer que ƒ appartient à E2 si et seulement si u appartient à E1
b) Démontrer l’unicité de la fonction u élément de E1 qui vérifie u(0) = 1

3. Soit ƒ un élément de E2. On pose, pour tout réel x; g(x) = ƒ(x)e^x
a) Démontrer que si ƒ vérifie ƒ(0)=1 et ƒ’(0)=0, alors g’(x)=e^2x
b) Démontrer qu’il existe une seule fonction ƒ répondant au problème posé et déterminer son expression.

frtanchemetn je susi completmeent a la ramasse pour toutes les questions alors j´aimerais bien avoit un peu d´aide svp

marci d´avance

Yoshi ++

celui qui m´aide, je lui offre un sandwichhhh...
à la fraise le swandichhhhhhhh !

E2 c´est y´´=y et non y´´=y´

1. Tu as juste à calculer.

2.a)

On suppose u appartient à E1
On a alors ( f+f´)´=f+f´ soit f´´=f soit f appartient à E2

On suppose f appartient à E2
On a alors f´´=f soit f´+f´´=f+f´ soit ( f´+f)´=f´+f soit u´=u soit u appartient à E1.

b) Je pense qu´en Terminale on admet que les solutions de y´=y sont u=A*exp(x). Si ce n´est pas le cas fais-le moi savoir.
Il faut que u(0) = 1 soit A=1
La fonction u qui vérifie u(0)=1 est donc unique, et u(x)=exp(x).

3. Bon là je vais te laisser te débrouiller un peu. Souviens-toi juste que " f un élément de E2" ( ce qui est le cas dans cette question) est équivalent à " u élément de E1", or tu as démontré l´unicité de u sous certaines conditions...