Voilà, j’ai un petit problème dans un exercice de maths pour rédiger. Je ne vois absolument pas comment faire la deuxième question ( la première phrase en tout cas) car je me retrouve avec un polynôme de degré 3 dont je ne sais que faire. Le pire c’est que je pense que les abscisses solutions sont –2 et 1 ( j’ai vérifié par le calcul et sur le graph). J’ai essayé de redériver mais bon, ça cloche. Merci de m’aider ( j’ai mis ma progression également)

***

Soit la fonction f définie sur R – {–3;0} par f(x) = 1/(x+3) – 1/x.

1°) Démontrer que la tangente T à la courbe Cf au point d’abscisse –2 passe par l’origine.

1. Dérivons la fonction f(x) :

f = u + v
avec u(x) = 1/(x+3) donc u’(x) = – 1/(x+3)²
et v(x) = – 1/x donc v’(x) = 1/x²
f’ = u’ + v’
f’(x) = 1/x² – 1/(x+3)².

La tangente T au point d’abscisse –2 a pour équation :
y = f(–2) + f’(–2)(x+2)
y = 3/2 – 3/4x – 3/2
y = –3/4x
Toute droite a pour équation mx+p avec p l’ordonnée à l’origine. Ici p=0, donc T passe par l’origine du repère.

2°) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de T avec la courbe Cf. En déduire, suivant les valeurs de x, la position de la courbe Cf par rapport à la tangente T.

1. Cherchons tous les points d’intersection de T avec Cf :

f(x) = y
< =>
f(x) – y = 0

1/(x + 3) + 1/x – ( –3/4x) = 0
Je mets au même dénominateur, je développe et je simplifie :
( 3/4x^3+9/4x²–3) / ( x+3)x = 0
et là je cherche comment résoudre...
( J´ai un peu continué, mais je vois comment démontrer que -2 et 1 sont solutions de l´équation). Après pour positionner Cf en fonction de T ça va, je sais.

Factorise 3/4x^3 + 9/4x² - 3 par ( x+3) ^^

comment veux tu que je factorise par ( x+3) ça marche pas !

( x+3)(ax²+bx+c)
= ax^3 + bx² + cx + 3ax² + 3bx + 3c
= ax^3 + ( b+3a)x² + ( 3b+c)x + 3c

on a dc le système:
a = 3/4
b+3a = 9/4
3b+c = 0
3c = -3

bon et voilà je suis encore bloqué snif

je pense que je dois obtenir un polynôme au numérateur mais lequel !

bon un ami m´a dit qu´il fallait factorisé par ( x-1) et effectivement ça marche mais est-ce que j´ai le droit de la sortir comme ça cette factorisation, du chapeau ?

ça me donne ( x-1)(3x²+12x+12) / 4x(x+3) = 0

et là je tombe bien sur les solutions à savoir 1 et -2 ! mais bon je trouve ça pas très logique... ou quelqu´un aurait-il une autre démarche dès le début !

Ben tu dis que 1 est racine évidente de ton polynôme => tu factorises.

ah cool alors ! je savais pas que je pouvais dire ça ! lol

on a dc le système:
a = 3/4
b+3a = 9/4
3b+c = 0
3c = -3

bon et voilà je suis encore bloqué snif

Ben avec ça tu peux résoudre non ?

a=3/4
b=1/3
c=-1
et tu vérifies avec b+3a= 9/4

non, non je te jure celui-là il marche pas ! lol
C t pas un truc super important donc ça va !