Qu´est ce qu´un group discret et comment le caractériser ?

( dans mon DM, j´ai a.Z + b.Z est un sous-groupe discret de ( R,+), avec a,b réels )

Je ne connais pas la définition exacte, mais j´imagine à priori qu´on dit que X est discret dans Y si entre deux éléments de X on trouve au moins un élément de Y.

X, espace topologique est discret si pour tout x de X, il existe un ouvert de X qui ne contient que x.
Un groupe discret est un groupe qui est discret.
Ici, aZ+bZ est discret ssi a/b est rationnel.

Tant que j´y suis, je suppose que tu as vu l´intégrale de Lebesgue tantale ? Quelle approche tu as utilisé ?

Je ne suis encore qu´un humble sup, donc les intégrales de machin, pas vu

" aZ+bZ est discret ssi a/b est rationnel."

Comme c´est marrant, c´est exactement la question de mon DM.
Mais la je sèche un peux...

Je pensait dire qu´il existe l appartenant à R tq :

a.Z+b.Z = l.r et puis...

l.Z pardon

Si quelqu´un pouvait me donner l´enmbryon d´une piste de solution ca m´aiderait.
C´est la dernière question et cette notion ne me parle pas vraiment pour l´instant...

OxFFFF : Utilise que aZ+bZ est un sous groupe additif de R et que les sous groupes additifs de R sont soit de la forme xZ avec x dans R, soit dense dans R ( et donc pas discret), tu as sûrement montré ce résultat plus tôt dans ton DM.

Jarozse : Quelle approche j´ai utilisé, ( enfin quelle approche mon prof a utilisé, plutôt)
C´est assez long et j´ai un peu la flemme... Si tu veux un cours sur l´intégration de Lebesgue, je pense que tu peux en trouver assez facilement sur Internet. Mais pour résumer de façon très grossière :
on définit d´abord un moyen de mesurer la taille d´un ensemble
puis on définit l´intégrale d´une fonction qui prend un nombre fini de valeur ( fonction dite étagée) comme la somme de ces valeurs multipliée par la mesure de l´ensemble sur lequel la fonction a cette valeur
finalement on essaye d´approcher la fonction à intégrer par une suite de fonctions étagées et on dit que l´intégrale de f est la limite des intégrales des fonctions étagées(comme on approche par des fonctions en escalier dans la théorie de l´intégration de Riemann).
Bon, mon explication est sûrement pas très claire, et elle ferait sûrement criser mes profs par son manque de rigueur mais c´est juste pour donner une vague idée.

Non, j´ai eu un cours sur l´intégrale de Lebesgue, mais il existe plusieurs approches ( celle de Carathéodory, celle de Daniell, celle de Denjoy-Perron, et puis la mienne).
Apparemment tu as vu la même que la mienne.

C´est juste par pure curiosité ^^

Je savais même pas qu´il y avait plusieurs approches en quoi elle diffère de la classique ?

C´est en partie ce que j´aimerais savoir

Tout ce que je sais, c´est que celle que j´ai utilisée ( due Zamanski) consiste à adopter un point de vue fonctionnel, avec comme fonction élémentaires les fonctions continues à support compact et non les fonctions étagées ( donc ce n´est pas la même en fin de compte^^), et on privilégie l´obtention rapide du résultat le plus significatif, à savoir la complétude de l´espace des fonction intégrables vis-à-vis de la norme de la convergence en moyenne. ( En gros, c´est plus simple, mais on masque le rôle joué par la monotonie des mesures de Radon).
Celle de Carathéodory se baserait plus sur des probabilités.
Quant aux deux autres je n´en sais rien du tout.

" comme fonction élémentaires les fonctions continues à support compact"
Heu, c´est-à-dire ? ça me paraît bien compliqué les fonctions continues à support compact comme point de départ, comment définis tu directement l´intégrale d´une telle fonction ?

En fait, si j´ai bien compris ( parce que faire topologie + intégrale de Lebesgue en deux heures c´est pas du gâteau), tu définis l´intégrale sur un ouvert O par Int(u*d(mu),O)=lim(<mu,uj>,j->inf)
Avec :
- uj étant une suite de Cauchy pour la norme L1, uj appartenant à D0(O) ( D0(O) : espace des fonctions à support compact dans O muni de la topologie de limite inductive stricte des C(0,Kj)(O), c´est la topologie définie par l´ensemble des semi-normes acceptées, une semi-norme sur C(0,c)(O) ( ensemble des fonctions continues à support compact dans O) étant acceptée si sa restriction à chaque C(0,Kl)(O) est continue...ouf ! ^^)
- uj->u presque partout sur O
- < > mesure de Radon

On constate que sur D0(O), Int(u*d(mu),O)=<mu,u>, et on a construit un prolongement de " la" mesure de Radon.

J´ai regroupé intégrabilité et définition de l´intégrale en une seule fois.

Le problème de cette définition, c´est que ce n´est pas facile de calculer ou de statuer sur l´intégrabilité d´une fonction qui n´est pas dans D0(O). Il faut faire appel à d´autre théorèmes.

punaise... je me souvenais pas que c´etait aussi chiant la sup ( faut dire que j´était en PT, que les programmes ont changé et que j´en foutais pas une en maths)

pour simplifier, pour moi, un ensemble discret, c´est genre quand tu numérise un signal, tu le discrétise ( tu ne prends que des échantillons toutes les sceondes par exemple...)

j´avoeu c´est chaud et chiant je pige que dalle lol mais bonen chance comem meme on t´a filé de bonne soluce

un groupe discret est un groupe qui ne tient pas à se faire repérer

ex: la résistance, les agents secrets...

merci, merci, plus tard les autographes!

Jarozse :
Ahhh, le mode texte, c´est pas cool pour écrire des maths, va falloir demander au Webmaster de JV.com de permettre l´utilisation de LaTeX sur les forums.

J´ai pas vraiment compris ce que tu as dit en fait.
Pour moi une mesure de Radon, c´est juste une mesure de R^d, finie sur tout compact, y a pas vraiment d´unicité. Je ne comprends pas trop la notation < mu,uj> : mu a l´air d´être la mesure par rapport à laquelle tu intègres mais < .,.>, ça représente quoi ?
Et si tu parle de suite de Cauchy pour la norme L1, c´est que tu as déjà une notion d´intégrale établie auparavant, non ?

mdr malteur ! qui sait..

Ouais, mais Latex je ne maitrise pas vraiment, je viens juste de m´y mettre.

Ah, tu as touché un point sensible de l´exposé du prof. Au départ, je pensais mettre un commentaire sur le côté étrange de " la" mesure de Radon, mais finalement j´avais renoncé.
Une mesure de Radon est une forme linéaire continue de D0(O) dans R. Ici, étant donné que tu intègres par rapport à une mesure de Radon, mon prof a certainement voulu dire " on construit un prolongement sur l´ensemble des mesures de Radon".

La notation : arf je me suis planté ^^
< mu,u>=mu(u), avec mu forme linéaire. mu est donc bien une mesure de Radon par rapport à laquelle j´intégre.

Non. En fait, on définit la norme L1 à partir des mesures de Radon directement, par :
||u||(L1)=<mu,|u|>

mu étant une mesure de Radon.

Le côté problématique de cette définition est de savoir quand est-ce qu´il s´agit bien d´une norme, et sur quel espace ? Et puis que se passe-t-il lorsqu´on change de mesure de Radon ? ( là je n´ai pas la réponse). Au final, on trouve que c´est une semi-norme, et une norme " à deux fonction égales presque partout près" ( norme(u)=norme(v) te donne u=v pp, et non partout), d´où le nom de norme de la convergence en moyenne.

Je crois que j´ai à peu près compris.
En fait, vous avez défini l´intégrale de Lebesgue sans introduire la théorie de la mesure, et du coup vous voyez une mesure comme une forme linéaire qui à une fonction associe son intégrale. C´est dommage, c´est rigolo les mesures :o) . Enfin, si vous avez tout fait en 2 heures...
En fait je pense que ton prof a pris ( pour aboutir à l´intégrale de Lebesgue usuelle) une mesure de Radon bien particulière appellée mesure de Lebesgue.
Qu´appelle tu une égalité pp, l´égalité sauf sur un ensemble où l´intégrale de la fonction indicatrice est nulle ?