Soit l´équation :

x² + y² = z² ( E)
On s´intéresse au solutions autres que ( 0,0,0).
. ..

On a x,y,z premiers entre eux deux à deux avec ( x,y,z) solution de ( E), montrer que x et y sont de parité différente.

J´arrive à prouver qu´ils ne peuvent être pairs ( car sinon ils sont divisibles par 2 tous les 2),
mais je n´arrive pas à prouver qu´ils ne doivent pas être tous les deux impairs.
Pouvez vous m´aider ?

x,y et z sont des nombres de Pythagore.

Supposons x et y impairs :
x = 2m+1 et y=2n+1 avec m et n entiers positifs
z² = 4(m²+m+n²+n)+2
Donc z² est pair ce qui entraîne que z ne peut être impair.
Or d´après le résultat ci-dessus, le reste de la division de z² par 4 vaut 2
Or si z est pair z² est divisible par 4.
Donc z ne peut être pair non plus.
Il y a donc contracdiction

z² = 4(m²+m+n²+n)+2

Moi je trouve z² = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)