x appartient à ]0, Pi/2].

1/a/Etablir que la fonction suivante est intégrable sur ]0,+ infini[:
u-->1/[(racine(u))*(sh^2(u)+sin^2(x))]

b/Soit n un entier supérieur ou égal à 1
On a:
un(x)= ( sin(nx))/(racine(n))
fn(x)=somme de k=1 à n de uk(x)

ps:n est en indice de u et f et k est en indice de u

Montrer que:
f(2x)=[(sin(2x))/(2* racine(2*Pi))] * l´intégrale de 0 à +infini de [(du)/[(racine(u))*(sh^2(u)+sin^2(x))]

2/Monter que f est de classe C0 sur ]0,Pi[
3/Montrer que f est de classe C1 sur ]0,Pi[

Je vous serais reconnaissant de me donner les solutions.

ya rien de compliqué dans les histoires de demonstration de la continuité, ou de la classe quelconque d´une fonction ( tant à savoir 0,1,2), c´est plus rebarbatif qu´autre chose, ca se ramene la plupart du temps à montrer que ta fonction est produit/somme/composée de fonctions usuelles de la classe désirée sur des intervalles ou réunion de sous intervalles donnés.
pour les points de litige s´il y en a ( souvent là ou s´annule un dénominateur), tu fais un developpement limité pour vérifier que ta fonction est continue, dérivable si besoin.

l´integrabilité, ca revient a prouver la continuité par morceaux, la classe C0 c´est la continuité tout court et pour la classe C1 la dérivée qui est continue.

ah oui tu dois montrer que tu peux integrer ta fonction en l´infini a priori
c´est pas compliqué tu cherches un equivalent de ta fonction en l´infini, et tu vérifies que l´integrale de cet equivalent converge en + l´infini.
comme deux fonctions equivalentes en l´infini ont leur integrale de meme nature, c suffisant
donc pareil, la c du developpement limité.

si le resultat n´est pas evident , tu peux aussi montrer que ton equivalent est negligeable devant une autre fonction qui dont l´intégrale converge en l´infini.

Mouais. Dès que tu passes dans les fonctions de deux variables ( ou plus), tu t´amuses pour les continuités...lorsqu´une fonction est continue suivant toute direction en 0 mais qu´elle n´est pas continue en 0, il faut le voir.

" l´integrabilité, ca revient a prouver la continuité par morceaux"

Faux. x->x est intégrable sur [0,+inf[ ? ( Ok, je sais, je joue mon chieur ^^). Il faut que tu te places sur un compact, et c´est une implication ( dans le sens inverse), pas une équivalence, et je ne sais pas si cela marche avec les fonctions à valeurs complexes.
En fait, pour les points de litige, il faut effectivement faire un dl ou mieux un équivalent ( plus simple), et utiliser les théorèmes de comparaison et de domination avec des exemples connu, comme de Riemann ( les t^a sur ]0,1[ et ]1,+inf[). Tu peux également utiliser le théorème de convergence dominée de Lebesgue ou le théorème de Bepo-Levy ( convergence monotone) pour montrer une intégrabilité. Si tu es maso ou si tu n´as vraiment pas le choix, tu peux découper en peits segments ( epsilonesques) et regarder ce qui se passe.

En ce qui concerne l´exo, il faut préciser. f c´est la limite de fn quand n tend vers l´infini ?

oui enfin la on parle de fonctions à une seule variable, je n´aurais pas osé m´avancer dans un cas plus général !
sinon pour la convergence de l´intégrale ( oui j´aurais pas du dire integrabilité, donc quitte a etre pointilleux, je me rectifie), j´avais cru au départ qu´il s´agissait de justifier l´integrale sur un intervalle fini de R, où la continuité par morceau est suffisante.
mais je me suis rendu compte apres que l´intégrale portait sur R+, et me suis rectifié :p

Intervalle fini ? Toujours pas ^^

Compact je te dis. Par contre la méthode que tu as proposée reste correcte si tu l´appliques en un point litigieux, par exemple 0 de 0],1] pour x->1/x. ( et je suis sûr que tu avais mis ce cas-là implicitement avec l´autre, mais tu ne l´a pas dit ^^)

Oui je sais je suis chiant Mais lorsque je songe que au nombre de points que j´ai perdu à cause de la rédaction et de points de détail comme celui-là aux concours...j´essaye de faire passer le message.

ouiiiiiiiiiiiii effectivement j´ai pas reflechi, je n´ai pas pris en compte les discontinuités eventuelles aux bornes de l´intervalle...sic, on est proche de la faute professionnelle grave la....
je vais me flageller pour expier ma faute

j´ai honte, j´ai fait le chapitre ya un moins a tout casser