Bonsoir ! Petite équation, je pense que c´est simple mais je sais pas comment on fait...

On considère l´équation :

( E) 8x + 5y = 1 où ( x,y) est un couple de nombres entiers relatifs.

a) Donner une solution particulière de ( E)
Donc j´ai dit que x=2 et y=-3

b) Résoudre l´équation
Là je bloque !

2) Soit N un nombre naturel tel qu´il existe un couple ( a,b) de nombres entiers vérifiant :

N = 8a + 1
N = 5b + 2

a) Montrer que le couple ( a, -b) est solution de ( E)

b) Quel est le reste dans la division de N par 40

Merci bien !

8x + 5y = 1
8x + 5y = 8*2 - 5*3
5(y+3) = 8 ( 2-x)

Gauss -> 5| 2-x
5a = 2-x
x = 2 - 5a

dc 5(y+3) = 8 ( -2+5a+2)
y+3 = 8a
y = 8a -3

et tu fais la reciproque

b)il faut d´abord utiliser tes solutions particulière :

8x+5y=8a+5b

avec a et b solution particulière.

8x+5y=8a+5b < => 8(x-a)=5(b-y)

apres il faut utiliser le théorème de Gauss :
5 et 8 sont premiers entre eux, donc 8 divise ( b-y) et 5 divise ( x-a)

Il existe donc l´entier k tel que b-y=8k et l´entier k´ tel que x-a=5k´

Et donc ton ensemble de solution est :

x=5k´+a
y=b-8k avec k et k´ € Z

Voilà il me semble que ce genre d´équation se résouds comme ça, mais vérifie avant.

2°) b)pour cette question il faut étudier les congruences modulo 40.

On a jamais fait ça les congruences...

Sinon j´ai une autre équation après

8x + 5y = 100

Hum...tu as les solutions de

8x+5y=1

et tu cherches celles de

8x´+5y´=100 ( et encore je met des ´ pour t´aider).

Tu ne vois pas le lien ?

100x et 100y ?