Salut à tous !
Décidément on va en bouffer toute l´année de la récurrence... même dans l´arithmétique

Je vous pose mon énoncé en espérant que vous pourriez m´aider...

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On considère les suites ( Xn) et ( Yn) définies par Xo = 1 et Yo = 8 et :

Xn+1 = ( 7/3)Xn + ( 1/3)Yn + 1
Yn+1 = ( 20/3)Xn + ( 8/3)Yn + 5

Pour tout n E N

1) Montrer, par récurrence, que les points Mn de coordonnées ( Xn, Yn) sont sur la droite ( D) dont une équation est 5x - y + 3 = 0. En déduire que Xn+1 = 4Xn + 2

2) Montrer, par récurrence, que tous les Xn sont des entiers naturels. En déduire que tous les Yn sont aussi des entiers naturels

3) Montrer que
a) Xn est divisible par 3 si et seulement si Yn est divisible par 3
b) Si Xn et Yn ne sont pas divisibles par 3, alors ils sont premiers entre eux.

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Voilà je vous remercie d´avance, même si vous ne savez faire qu´un bout d´une question ce n´est pas grave je prends tout

hardcore !

bon j´ai cherché un peu mais j´ai... rien trouvé... je suis désolé, bon courage ( la récurrence et moi ça fait 2...)

On considère les suites ( Xn) et ( Yn) définies par Xo = 1 et Yo = 8 et :

Xn+1 = ( 7/3)Xn + ( 1/3)Yn + 1
Yn+1 = ( 20/3)Xn + ( 8/3)Yn + 5

Pour tout n E N

1) Montrer, par récurrence, que les points Mn de coordonnées ( Xn, Yn) sont sur la droite ( D) dont une équation est 5x - y + 3 = 0. En déduire que Xn+1 = 4Xn + 2

Mo(1,8) E ( D) < => 5Xo-Yo+3=0
Or 5*1-8+3=0 donc Mo E ( D)

On suppose que Mn(Xn,Yn) E ( D)

Mn+1(Xn+1,Yn+1) E ( D) < => 5Xn+1-Yn+1+3=0
Or
5Xn+1-Yn+1+3=5[(7/3)Xn+(1/3)Yn+1]-[(20/3)Xn+(8/3)Y
n+5]+3
=35/3Xn+5/3Yn+5-20/3Xn-8/3Yn-5+3
=5Xn-Yn+3 CQFD

On a 5Xn-Yn+3=0 et Xn+1=(7/3)Xn+(1/3)Yn +1
D´où Yn=5Xn+3
Donc Xn+1=7/3Xn +1/3(5Xn +3)+1=4Xn+2 CQFD

Et hop!

La suite est facile. Je te laisse chercher.

A+