il me reste que cet exos pour le finir je bloque un peu si vous pouviez maider ce srai sympa
p(x) est un polynome de degre 3 tel que p(o) = 0 et p(x+1) - p(x) = x²

1) montrer que p(1 ) = 0 ---> bon ca c facile
2) determiner l´expression de p
3) en deduire l´expression de S = 1²+2²+3².....+n² en fonction de n

1) montrer que p(1)=0

p(0)=0 ainsi p(1)-p(0)=0, d´où p(1)=0

2) determiner l´expression de p

Soit p(x)=ax^3+bx²+cx+d
p(0)=0 => d=0

p(x+1)-p(x)=a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)-(ax^3+bx²+cx)

p(x+1)-p(x)=3ax²+(3a+2b)x+a+b+c=x²
En identifiant, on obtient:
a=1/3
b=-1/2
c=1/6

donc p(x)=x^3/3+x²/2+x/6

3) en deduire l´expression de S =
1²+2²+3².....+n² en fonction de n

S=P(1+1)-p(1)+p(2+1)-p(2)+p(3+1)-p(3)+...+p(n+1)-p
(n)
C´est une somme téléscopique qui se simplifie et il reste: S=p(n+1)-p(1)=p(n+1)
Or p(n+1)=(n+1)^3/3-(n+1)²/2+(n+1)/6
d´où S=n(n+1)(2n+1)/6

Et hop!

A+

merci