un randonneur parcourt 20km en 5 heures , montrer qu´il existe un intervalle de temps de 1 heure sur lequel il a parcouru exactement 4km

Introduit une fonction auxiliaire adaptée, du type f(x)-f(0), ou quelque chose comme ca, puis théorème des valeurs intermédiaires.

ou dans le meme style tu peux poser f(x)=g(x+1)-g(x)-4 avec g(x) la distance parcourue en fonction du temps x.
si il a fait du 4 km/h pdt 5h, ya deux cas: soit il a fait 4 km pdt chacune des 5h, et dans ce cas le probleme ne se pose pas, soit il y a au moins 1h " a" pdt laquelle il a fait moins de 4km ( entre a et a+1 donc), et une heure " b" ou il a fait plus de 4km ( entre b et et b+1 donc), en moyenne.
dans ce cas f(a)<0, f(b)>0 , ta fonction f est continue donc tu lui appliques le th des valeurs intermédiaires: il existe c entre dans l´intervalle [a<->b] ( on se moque de savoir si a<b ou non) tel que f(c)=0, soit c tel que g(c+1)-g(c)=4
pdt l´heure comprise entre c et c+1, il a parcouru exactement 4 kilometres

Oui voilà je ne me souvenais plus de la fonction auxiliaire à introduire, et je n´avais pas le temps de chercher ( amphi à 8h30)

et à 8h22 tu etais encore devant le pc

Non non.

A 8h29