J´ai un ptit exo de math sur le principe de recurrence , on a vu la méthode ce matin...

mon enonce: Montrer par recurrence que:
n puissance3 - n est un multiple de 3.

J´ai calcule P(2) c´est vraie...

ensuite arrive p(n+1)...
ca me donne ( n+1)puissance3 -n-1= ?

Je vois pas comment je peux traduire multiple de 3 dans mon equation et arriver a une egalite

Si qq1 pouvait m´aider ce serait sympa merci

On peut facilement montrer que n^3 - n = ( n-1)n(n+1)

Supposons que n^3 - n est multiple de 3 et montrons la propriété à l´ordre n+1

( n+1)^3 - ( n+1) = ( n+2)(n+1)n = ( n-1+3)(n+1)n
=(n-1)(n+1)n + 3(n+1)n = n^3 - n + 3n(n+1)
n^3-n est multiple de 3
3n(n+1) aussi
Donc la différence des 2 aussi
CQFD

merci

Par contre j´ai ete oblige de developper , j´ai pas trop compris tes factorisations

n^3 - n = n(n²-1) = n(n+1)(n-1)
( n+1)^3 - ( n+1) = ( n+1-1)(n+1)(n+1+1) = ( n+2)(n+1)n = ( n-1+3)(n+1)n -> Ici j´ai remplacé 2 par 3-1
n-1+3 = ( n-1)+3 = somme de 2 termes qu´on distribue en faisant le produit par ( n+1)n -> =(n-1)[(n+1)n] + 3[(n+1)n]
Ensuite on remarque que ( n-1)[(n+1)n] est égal à n^3-n