Neorossi:
On a pris une fonction f qui vérifie (*) càd qu'on a pour tout couple (x,y) de réels:
f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2f(y)
Ou encore:
f(x + y) + f(x - y) - 2f(x) - 2f(y) = 0
On fixe un x réel, et on défini pour tout y la fonction:
phi(y) = f(x + y) + f(x - y) - 2f(x) - 2f(y)
Donc pour tout réel y, on a le couple (x,y) qui est réel, donc phi(y) = 0 pour tout réel y.
Phi est constante en 0 donc est dérivable.
On a phi'(y) = 0 = f'(x + y) + f'(x - y) - 2f'(y)
(comme c'est une fonction de y, le terme f(x) est constant par rapport à y).
On retrouve l'égalité (**) 