Eh les gars voilà l'énoncé
Soient E un ensemble non vide, A et B deux parties de E.
On considère l'application f de P(E) dans P(A) X P(B).
A toute partie X de E, f associe le couple (XinterA,XinterB) (je noterais N l'intersection par la suite).
1) Montrer que f est surjective <=> A et B sont d'intersection vide.
J'ai fait la première implication et voilà la deuxième
On pose AnB vide
Si f n'était pas surjective, alors elle serait injective puisqu'il existerait au moins un élément de P(E) qui n'aurait pas d'image.
On aurait donc Si (XNA, XNB) = (X'NA,X'NB) alors X= X'
Contre exemple
X = A et X' = B barre
On a bien (XNA,XNB) = (A,o) = (X'NA, X'NB)
(XNBbarre) = A car ANB = 0
Or A =/= Bbarre en général
Donc f surjective
Ce qui m'ennuie avec ma démonstration c'est le fait de réfuter l'hypothèse de départ sous couvert du fait que l'affirmation est fausse en général.
Dois-je étudier le cas AuB = E ? (j'imagine que dans ce cas elle est bijective donc surjective)
Ou trouver un meilleur contre-exemple ?