Sorcor Si tu veux, y'a certains théorèmes non triviaux et surpuissants que tu peux montrer sur les fonctions holomorphes avec le programme de prépa, le tout sas passer par le théorème de Cauchy (qui te dit que toute fonction holomorphe est localement la somme d'une série entière).

Exemples : théorème des zéros isolés,(si f holomorphe non nulle s'annule en a € C, alors f ne s'annule pas dans un voisinage de a), principe du maximum (si |f| admet un maximum local, f est oonstante),...

Je sais pas ce que c'est une fonction holomorphe et j'ai pas fait les séries encore

Sur C, on définit la dérivabilité comme sur R, par la limite du taux d'accroissement. Une fonction holomorphe est juste une fonction de C dans C dérivable.

Ah, sans avoir fait les séries (entières), ça va être dur.

Attends j'ai du mal à me représenter là

En gros ça veut dire que f(z) explose pas localement un truc comme ça ?

Définition : Soit f : C -> C. On dit que f est holomorphe au point a € C si le rapport (f(z)-f(a))/(z-a) admet une limite finie lorsque z tend vers a.

Rien de plus dans la définition par rapport aux fonctions réelles, et pourtant, tout change.

Oui j'ai bien compris mais d'un point de vue visuelle ça veut dire que f(z) n'explose d'un point de vue infinitésimal un truc comme ça ?

Ah oui, c'est vrai qu'une dérivée à deux dimensions, c'est pas évident à se représenter.

T'auras du mal à te représenter le graphe de f, vu qu'il a quatre dimensions.

Mais je pense pas en 4D je pense le graphe en 2D avant et le graphe en 2D après

Problème, ton raisonnement devrait aussi s'appliquer en dimension 1, ce qui transformerait en gros un graphe en deux intervalles. Tu perds des informations en essayant de raisonner comme ça.

les morphismes c'est au programme de sup

Un peu, oui. C'est, avec la définition des principales structures algébriques, l'essentiel du programme d'algèbre générale de sup.

morphisme c'est un nom assez pompeux pour désigner quelque chose de pas très compliqué à saisir

Eh bien par forcément

Imagine toi la droite des réels graduée par les entiers naturelles que tu colories
Imagine ensuite que tu les mets tous au carrés,les images garderont la même couleurs et tu pourras visualiser l'ensemble image sur une autre droite sans perdre d'info
Maintenant comme c'est des naturelles c'est un peu facile,si tu fais ça avec des réels tu n'as qu'à les colorier par intervalles et tu vois ce que ça donne

Ah ouais, remarque, la façon dont tu tournes ça me rappelle la conf de Ghys, N pages plus haut, quand il déforme la photo de Poincaré. Y'a de l'idée.

Nan mais c'est comme ça que les mathématiciens font pour répresenter les fonctions complexes

Exemple :
Tu as un pavage d'horloge sur le plan complexe : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:ConformId.jpg

Maintenant voilà ce que donne les images pour z->log(z) : http://fr.wikipedia.org/wrg/wiki/Fichier:ConformExp.jpg
z->e^1/z :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:ConformSingulariteEssentielle.jpg

C'est la même idée

c'est beau

La tangente de période 2Pi toujours : http://fr.wikipedia.org/wrg/wiki/Fichier:ConformTan.jpg

epique

c magnifique

Et vous voyez qu'on peut faire des developpements limités :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:ConformTanTaylor7.jpg

Vous voyez que proche de 0 cette transformation du DL de la tangente à l'ordre 7 se confond avec la transformation posté au dessus