EN même temps dis comme ça :
"Soit A€Mn(K) telle que A^4+2A^3+5A-2In=0
Déterminer A^(-1)
"
Ca donne un peu l'impression qu'on admet déjà l'existence de A^-1 nan ?

ouais enfin bon c'est parce que l'exo est très simple,mais c'est comme quand on te demande de calculer une dérivée tu dois justifier l'existence

Sinon t'as des exos du genre:

A=In+N et N²=0
soit p€N*,calculer A^(p)

Binôme de Newton spotted

ouais mais y a un truc qu'il faut pas oublier de dire

c'est quoi la condition pour pouvoir utiliser le binôme de newton?

Le produit matriciel avec In est commutatif

voilà

Sinon un poil plus dur mais pas trop non plus:
A²-3A+2In=0

p€N*
Calculer A^(p)

A^2 = 3A-2In
A^3=3A^2-2A=9A-6In-2A=7A-6In
A^4 =7A^2-6A =21A-14In-6A = 15A-14In

par récurrence tu trouves A^(P) sera de la forme

nA-(n-1)In

à chaque fois la distance entre deux puissances va doubler

Nop

en gros ça fera

3
7
15
31
63

etc...

peut être qu'il y a une méthode plus simple mais par récurrence j'ai un résultat

enfin si remarque ,mais prend pas n comme lettre c'est déjà la dimension des matrices ,et faut avoir explicitement ton "n" sinon ça vaut rien

A^(p) = (3 +2(p-1))A - (2+ 2(p-1)In
=(2p+1)A-2pIn

A^(p) = (2p+1)A-2pIn ?
Par récurrence on trouve ça

A un détail près
regarde pour p=1 ce que ça donne avec ton résultat

3A -2In
oui je suis décalé d'une puissance en gros

Bref à une translation près c'est ça

donc c'est 2(p-1)A-(2(p-1)-1)In

(2p-1)A-(2p-2)In plutôt