Sas'
Un compact, c'est un ensemble K de R^n tel que si tu choisis une suite d'éléments de K, disons (u_n), il va exister une extraction (*) phi telle que ( u_phi(n) ) converge. Moralement, une suite à valeurs dans un compact est "presque convergente".
Un théorème te dit que les compacts de R^n sont exactement les ensembles fermés et bornés. En dimension 1, tu as les intervalles fermés bornés. En dimension quelconque, la boule unité fermée, la sphère unité sont des compacts.
Autre formulation (dimension finie, toujours) : toute suite bornée admet une suite extraite qui converge.
Par exemple, tu choisis une suite de vecteurs de norme 1, (u_n), dans l'espace à trois dimensions. Il existe alors un certain vecteur x, de norme 1, et une extraction phi tels que u_phi(n) -> x.
(*) Une extraction, c'est une fonction de |N dans |N, strictement croissante.
Exemples intéressants : phi(n) = 2n, phi(n) = n², ou n'importe quoi de pas forcément explicite.