Le sens réciproque est évident, car alors f est lipschitzienne.
Si f est continue sur E, elle l'est en particulier en 0. Il existe a>0 tel que ||x|| =<a => ||f(x)|| =< 1.
Soit x un vecteur de la boule unité fermée. Alors ||f(x)|| = ||f(a*x)/a|| = 1/a*||f(ax)||.
Or ||ax|| =< a, donc ||f(ax)|| =< 1, ie ||f(x)|| =< 1/a. Donc f est bornée sur la boule unité fermée, par M = 1/a.
Maintenant soit x quelconque de E. x/||x|| est de norme 1, donc ||f(x/||x||)|| =< M, ie ||f(x)|| =< M||x||.