Ah oui, en choisissant x=pi/3, sin(px)=< sqrt(3)/2 pour tout p (et = pour p=1 par exemple), ça se voit bien (meme à l´oral ça doit passer limite comme affirmation ça
)
Apres, pour 0<x=<pi/3, on trouve aisément p tel que pi/3<px<2pi/3.
En effet (
), R est archimédien, donc il existe un entier n tel que (n-1)x=<pi/3=<nx, et nx=(n-1)x+x =< pi/3 + pi/3 = 2pi/3.
Donc, avec p=n, on a sin(px)>=sqrt(3)/2
Enfin, pour x >= pi/3, on prend p=1 et on a encore sin(px)>=sqrt(3)/2.
Finalement, la borne inf est atteinte pour x=Pi/3 et vaut sqrt(3)/2.
CQFD... bon ok avec les indics ct plus tres dur 