"Je pensais qu'on définissait toujours l'intégrale avec des bornes infinies comme la limite quand les bornes tendent vers l'infini."
C'est ça, mais il faut faire tendre les bornes indépendamment l'une de l'autre. En gros, pour que l'intégrale de f entre -inf et +inf existe, il faut et il suffit que l'intégrale entre -inf et a converge et que l'intégrale entre a et +inf converge (pour a réel).
"Pourquoi on ne pourrait pas dire que l'intégrale de -exp sur R c'est -oo?"
Tu peux le dire, on a construit la droite achevée justement pour pouvoir s'autoriser ce genre d'"abus de langage" 