okokbientasvu voilà ce que j'ai fait (je garantis pas que c'est la meilleure solution) :
Soit x € E\G. Soit y un élément de Fx inter G.
Alors y s'écrit kx + µu(x) avec k et µ des scalaires. Cela implique u(y) = ku(x) + µ*alpha x
On veut montrer que y = 0. Comme (x,u(x)) est libre, c'est équivalent à k = 0 et µ = 0.
Supposons que k est différent de 0. Alors x = 1/k y - µ/k u(x).
On remplace dans l'autre équation, et après quelques calculs on obtient :
(k² - µ²alpha)u(x) = ku(y) - µ*alpha y.
Le 2ème membre appartient à G, car G est un sous-espace stable par u.
Or le premier membre n'appartient pas à G. En effet supposons que (k² - µ²alpha)u(x) appartient à G. En composant par u, et comme G est stable :
(k²alpha - µ²alpha²) x € G. Comme alpha < 0, on a k²alpha - µ²alpha² < 0 (en particulier, non nul), donc cela implique x € G, ce qui est faux par hypothèse.
Ainsi on a la contradiction (k² - µ²alpha)u(x) = ku(y) - µ*alpha y appartient à G inter E\G... Donc k = 0.
Donc y = µu(x). Donc µu(x) appartient à G. Donc µ*alpha x appartient à G (par stabilité), ce qui n'est possible que si µ = 0 (sinon on aurait x € G...).
On a donc montré que k = 0 et µ = 0, d'où y = 0.