La continuité en un point x d'une fonction f c'est :
Pour tout epsilon > 0, il existe alpha tq pour tout y , |x-y| < alpha => |f(x)-f(y)| < epsilon.
Du coup, pour montrer la continuité sur un intervalle I, tu rajoutes un "pour tout x dans I" devant.
If(x)-f(y)I<K*Ix-yI, ce truc là c'est si f est lipschitzienne (mais bon, osef pour l'instant si t'as pas vu la continuité) (ce qui implique trivialement f continue), mais plein de fonctions continues ne sont pas lipschitzienne, genre la fonction racine sur un intervalle contenant 0.
Après, si tu montres un truc comme ça If(x)-f(y)I<1/x-1/y, ça marche en faisant la limite, mais là tu supposes la fonction 1/x continue. 