Arf, j'arrive pas a bien le refaire.
Je te mets ce dont je me souviens, au pire demain je devrais avoir le corrigé (la flemme de bien réfléchir ...)
On prend d un diviseur commun de a^2 + b^2 et a+b, d premier.
On montre facilement que d/2, donc d=1 ou d=2 (si je me souviens bien on utilise (a+b)^2-(a^2+b^2) et le th de Gauss )
Le pgcd est donc soit 1, soit une puissance de 2.
Ensuite, on discute selon la parité de a et b.
S'ils ont parité différente le pgcd est 1, sinon c'est 2 (je crois que le cas pcgcd=1 est très facile, pour l'autre on suppose que 4 divise les deux et on arrive une contradiction, donc ça sera forcément 2 car a^2+b^2 et a+b seront pairs).
C'était pas extrêmement compliqué mais je suis une vraie loque ce soir...