Mon truc me paraît soit faux, soit trop compliqué mais bon je l'écris quand même...
Supposons qu'une telle bijection de R sur R existe.
L'image de R par T o cos est T([-1,1]). L'image de R par sin o T est [-1,1] (parce que T est surjective).
Donc si T o cos = sin o T, alors T([-1,1]) = [-1,1], autrement dit l'image par T de toute élément de [-1,1] est dans [-1,1].
On a cos(Pi/4) = cos(-Pi/4) donc T o cos(Pi/4) = T o cos(-Pi/4) donc sin(T(Pi/4)) = sin(T(-Pi/4)).
Or Pi/4 et -Pi/4 € [-1,1], donc T(Pi/4) et T(-Pi/4) € [-1,1] qui est inclus dans [-Pi/2,Pi/2].
Donc si on compose l'égalité in(T(Pi/4)) = sin(T(-Pi/4)) par arcsin, on obtient T(Pi/4) = T(-Pi/4), ce qui contredit l'injectivité de T.