Bien entendu c'est yagaku qui bosse.par ce que ya mon cousin (un vrais genie) qui majore la fac de math de mohamedia au maroc a fes.et je lui ais demandé il ma dit que c'est a peu pres le meme programe qu'en prepa.si il les majore cest qu'ils sont pas aussi avancé.

Bien entendu c'est yagaku qui bosse.par ce que ya mon cousin (un vrais genie) qui majore la fac de math de mohamedia au maroc a fes.et je lui ais demandé il ma dit que c'est a peu pres le meme programe qu'en prepa.si il les majore cest qu'ils sont pas aussi avancé.

1/(1-x) = 1 + x + ...
1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + ...
1/(1+x^2) = 1 -x^2 + x^4 - x^6 + ...

Ouais mais ça c'est en 0

Enfin c'est plutôt le DL de 2x/(1+x²)

Soit f(x)=2x/(1+x²)

On cherche le DL de f(x) en 1 à l'ordre osef.

On pose u=x-1 <==>x=1+u.

On a donc f(u)=(2+2u)*1/(1+u²) et ainsi on se ramène à calculer un DL en 0.

Donc f(u)=(2+2u)*(1-u²+...)
<==> f(u)=2-2u² + 2u - 2u³
<==> f(x)=2-2(x-1)² + 2(x-1) - 2(x-1)³
<==> f(x)=...
<==> f(x)= -2x³ + 4x² -12x

et je dois trouver f(x)= 1 - (x-1)²/2 :fuu:

Putain, j'ai tout oublié sur les DL, je sais plus rien faire en dehors de 0 sans taylor

Nouvelle idée un peu mieux je pense :

lim (x->1) f(x) = lim (x->0) (2+2x)/(2+x²) = lim (x->0) = (1+x)*1/(1+(x²/2))

On calcule donc le DL en 0 de (1+x)*1/[1+(x²/2)] = (1+x)*[1-x²/2]
= 1 - x²/2 + x -x³/2 (osef des epsilons )

Ça ressemble déjà plus à la réponse, mais c'est pas ça

"On a donc f(u)=(2+2u)*1/(1+u²)"

Non f(u) = (2+2u)/(1+(1+u)²).

Ouais donc ça ne me fait pas un DL en 0 ça

FUUU ça m'énerve

Ben si, u est au voisinage de 0 là, donc tu peux faire un DL en 0.
Au final je trouve 1 - (x-1)²/2 + O((x-1)^3)

Tu fais le DL de arctan et tu dérives

<==> f(u) = (2+2u)/[2+(2u+u²)] = (2+2u)*(1/2)*[1+(2u+u²)/2]

Et donc après là je DL :

f(u) = (1+u)/[1+(2u+u²)/2]
<==> f(u) = (1+u) * [1 - (2u+u²)/2 ]
<==> f(u) = 1 - (2u+u²)/2 + u - u(2u+u²)/2
<==> f(x) = 1 - (2x-2+x²-2x+1)/2 + x-1 - (x-1)*(2x-2+x²-2x+1)/2
<==> f(x) = 1 + (-x²+1)/2 + (2x-2)/2 -(x-1)*(x²-1)/2
<==> f(x) = 1 + (-x²+2x-1)/2 + (x³-x-x²+1)/2
<==> f(x) = 1 - (x-1)²/2

J'arrive au résultat en virant le "(x³-x-x²+1)/2", mais ça m'embête parce que dedans j'ai des x de degré <= 2

Généralement c'est plutôt le DL de arctan qui s'obtient par intégration d., pas le contraire.

du DL de 1/(1+x²)*

J'sais pas trop ce qui s'est passé là.

1. Rikku Voir le profil de Rikku
2. Posté le 5 décembre 2010 à 16:03:59 Avertir un administrateur
3. Généralement c'est plutôt le DL de arctan qui s'obtient par intégration d., pas le contraire.

Oui j'allais justement me corriger en fait ^^

Epita c'est parce que tu ne mets pas les o (ou O comme tu préfères), du coup ça donne absolument n'importe quoi.
D'une part toutes tes égalités sont fausses, et d'autre part tu ne sais pas quel termes d'un développement il faut garder, et lesquels il faut négliger.

Et bien supposons que je veuille faire à l'ordre 2 :

(j'ai pas vu les o/O, juste les epsilons)

f(u) = (1+u)/[1+(2u+u²)/2]
<==> f(u) = (1+u) * [1 - (2u+u²)/2 ] + u²€(u)
<==> f(u) = 1 - (2u+u²)/2 + u - u(2u+u²)/2 + u²€(u)

<==> f(u) = 1 - (2u+u²)/2 + u - u² + u²€(u)
<==> f(x) = 1 - (2x-2+x²-2x+1)/2 + x-1-x²+2x-1 + x²€(x)
<==> f(x) = 1 + (-x²+1)/2 + (-2x²+6x-4)/2 + x²€(x)
<==> f(x) = 1 + (-3x²+6x-3)/2 + x²€(x)
<==> f(x) = pas bon
<==> f(x) = 1 - (x-1)²/2

Enfin ce serait plutôt (x-1)²€(x-1)

Non dès le début c'est faux tu oublies des termes. Pour u²€(u) je note o(u²), c'est plus simple.
Le développement 1/(1+v) avec v = u + u²/2, c'est 1 + v + v² + o(v²). Or dans le développement de v² = (u+u²/2)², il y a un terme en u², que tu n'as pas mis.

Bon c'est 1-v+v²+o(v²), tu l'auras compris.