bonjour confrères de prépa
j'aurais grand besoin de votre aide pour des coniques (en polaires)

l'exercice consiste à "reconnaitre la conique en précisant ses éléments caractéristiques"

1) rho = 2/ (2+ cos(théta)+ sin(théta))

d'après des formules de cours j'ai réussi à le transformer en
rho = 1/ (1+ 1/sqrt(2)* ( cos(théta- théta0)))
j'ai réussi à identifier théta0 = Pi/4
e = 1/sqrt(2) et p = 1 =>p=e*h (h= sqrt(2)
e<1 donc il s'agit d'une ellipse
on utilise la formule
a = e*h / (1- e²) = 2
b = = e*h / sqrt(1- e²) = sqrt(2)
c = sqrt(a²-b²) = sqrt(2)

et là je commence à coincer

on avait dit que pour une conique en polaire sous cette forme le foyer était l'origine du repère donc normalement on a F(0,0) mais on met quoi pour F'
et pour la directrice D ainsi que D' comme théta0 =/= 0 il faudrait faire un changement de repère car on n'aurait pas D: X=-a/e (en fait c'est l'équation en cartésiennes j'ai pas trouver en polaire ) mais comment peut-on le faire

Personne n'a dit que c'était facile, juste que c'était classique.

Ben t'as tout là. T'as e, p, a, b, c, tu sais que l'axe focal c'est la droite theta = theta0... Si tu veux donner les coordonnées de F' et l'équation de D, fais-le dans le repère défini par F et l'axe focal. Mais je pense pas que ça soit utile de les donner dans le repère (O,i,j).

" Si tu veux donner les coordonnées de F' et l'équation de D, fais-le dans le repère défini par F et l'axe focal. Mais je pense pas que ça soit utile de les donner dans le repère (O,i,j). "

ben le truc c'est que je vois pas comment les trouver
comme théta0 = Pi/4 l'axe focal est incliné de Pi/4 par rapport à l'horizontale donc je devrais donner F', D et D' dans ce repère mais j'ai un blocage je vois pas du tout ce qu'il faut utiliser

La distance entre les foyers c'est 2c, et la distance foyer-directrice c'est h.
Donc dans ce repère, F'(2c,0) et D : X = -h.

le h c'est celui de l'expression p= e*h
si c'est celui-ci on a alors D : X= -sqrt(2)
et aussi F' ( 2c, 0) => F'(2sqrt(2) , 0)
tous cela dans le repère incliné de PI/4 c'est bien ça

mais pour le D: X=.... on peut pas faire X= -a/e aussi
parce qu'avec cette manière j'obtiens X = -2sqrt(2)
( a=2 et e 1/ sqrt(2) )

et les formules de changement de repère
x = X*cos(théta) - Y*sin(théta)
y = X*sin(théta) + Y*cos(théta)
c'est bien pour deux repères cartésiens donc inutilisables ici n'est-ce pas

'lut.

Quand on étudie une courbe paramétrée et qu'on trouve un point stationnaire, on cherche les entiers p et q tq p est le premier entier vérifiant OM^(p) =/= O, et q le premier entier tq OM^(q-1) non colinéaire à OM^(q) (tout ça en vecteur, avec ^(p) dérivée p-ième)

Dans mon cours j'ai différents cas en fonction de la parité de p et q. Mais comment en étudie la courbe en ce point si p ou q n'existe pas?

Au feeling, je dirais qu'on étudie tout simplement pas, vu que si toutes les dérivées de ta fonction en ce point sont nulles, la courbe se ramène vraisemblablement à un point dans le voisinage considéré.
Ca se montre à mon avis en considérant un développement de la dite fonction au voisinage de (x0,y0).

Intuitivement, si tu vois ta courbe comme une trajectoire, les vecteurs dérivées donnent des informations sur la mise en mouvement (vitesse, accélération, variation de l'accélération, variation de la variation etc...).
S'ils sont tous nuls, ce qu'il n'y a pas de mouvement.

Si il n'y en a qu'un seul qui est non nul et que tous les autres lui sont colinéaires, alors la trajectoire est une ligne droite.

Faut voir au cas par cas, en essayant de faire un développement de la courbe au voisinage du point. Des fois y'a une tangente, des fois y'en a pas.
Exemple :
x(t) = t
y(t) = exp(-1/t²) avec y(0) = 0.
C'est un arc C-infini qui n'admet pas de premier entier fondamental en 0 (toutes les dérivées en 0 sont nulles). Et t'as une belle tangente horizontale à l'origine.

Non mauvais exemple, la première dérivée est non nulle.
Plutôt prendre
x(t) = exp(-1/t²) (x(0) = 0)
y(t) = exp(-1/t²) (y(0) = 0)
Là toutes les dérivées sont nulles. Et l'arc c'est le segment [0,(1,1)] donc y'a des tangente dirigées par (1,1) partout.

Petite question au passage, peut-on affirmer qu'une matrice est semblable à sa transposée ?

Si elle est symétrique oui.

Les mec j'ai eu un ds en math et j'ai eu 19 je lai fait en 2h alors qu'il en fallait 4 ce qui me pousse a penser que je suis ultime seulement jai passé 2h a chercher la limite de x(ln x)^2 en 0.alors suis je un dieu ou suis je une merde?

Tu veux la réponse

Rikku >
Ouais je vois le problème.
C'est un mouvement qui au voisinage de zéro est "infiniment" lent (toutes dérivés nulles).

Dans ce genre de cas, je vois pas autre chose que prendre P(t+e)-P(e) avec e judicieux.
(J'avais déjà vu un problème de ce genre, ou le passage à la limite faisait perdre l'information intéressante).

Ok merci
Par contre, comment étudier la courbe au voisinage du point? Car un DL ne vas mener à rien dans le cas où les dérivées sont toutes égales au vecteur nul.
Dans ton exemple Rikku, comme est-ce que tu trouves (1;1) ?

Oui vD je veux la réponse.

On peut faire un DL au voisinage du point sans que ça soit un développement de Young.
Si OM(t+h) = OM(t) + h²V + o(h²) par exemple t'as une tangente dirigée par V.

Dans mon exemple le support de l'arc c'est simplement le segment [OA] où A est le point (-1,1), parce que la fonction exp(-1/t²) est à support dans [0,1].
On aurait pu paramétrer ce segment par x(t) = t, y(t) = t, t € [0,1] mais ça fournit pas d'exemple intéressant.
Du coup comme c'est un segment de droite, y'a une demi-tangente en 0, et c'est pas difficile de voir qu'elle est dirigée par (1,1).

Pour trouver une tangente, calcule la limite de P(t)-P(a)/||P(t)-P(a)||.

Enfin tu devrais demander à ton prof il t'expliquera tout ça sûrement mieux que nous.
Mais franchement, déjà que généralement les gens ont du mal à étudier des arcs paramétrés à peu près normaux, ça m'étonnerait que tu rencontres souvent ce genre de cas pathologiques.