J ai un devoir demain sur la justifciation par induction, et je comprends rien, dans le livre il n y a rien ! !! Il faut que quelqu un m explique, ou donnez moi un lien ou tout est expliqué. Je ne saurais comment vous remerciez... Par ex. si quelqu un pouvez m expliquer comment justifier ceci par induction ca m aiderait ( en m expliquant les etapes).

Soit x un nombre naturel, prouvez que
n"puissance 3" - n est divisible par 3.

Raisonnement inductif = empirique :
acquis grâce à l´expérience mais sans qu´intervienne un raisonnement conscient. Tu agis en fonction des évènements par habitude car tu connais a priori les conséquences de tes actions ( ou inactions).

n^3 - n divisible par 3 :

n^3 - n = n ( n^2 - 1)

2 cas :

1) Si n divisible par 3 OK
1) Si n non divisible par 3, n = 3k + i avec i = 1 ou 2 et k entier relatif quelconque
n^2 - 1 = ( 3k+i)^2 - 1 = 9 k² + 6ik + i² - 1
= 9 k² + 6ik ou 9 k² + 6ik + 3

Ces 2 nombres sont toujours divisibles par 3 donc n^2 - 1 est divisible par 3

Donc soit n est divisible par 3 soit n^2 + 1 est divisible par 3, donc le produit n ( n^2 - 1) est toujours divisible par 3
CQFD

En fait, c´est la même chose qu´un raisonnement par récurrence :
http://math.cmaisonneuve.qc.ca/plantagne/Maple/Induction_mathematique/Induction_mathematique3.html
Je vais essayer de le démontrer comme ça

oui mais il voulait un raisonement par induction pr le justifier

J´y viens :

1) Montrons que pour tout entier naturel n on a la propriété P(n) cad n^3 - n divisible par 3
2) Pour n0 = 0 0^3 - 0 = 0 divisible par 3 donc P ( n0) = P ( 0) est vraie
3) Supposons que P ( k) est vraie cad k^3 - k divisible par 3
4) Montrons que P ( k+1) est vraie :
( k+1)^3 - ( k+1) = k^3 + 3 k² + 3k + 1 - k - 1 = k^3 - k - 3 k² + 3 k = k^3 - k + 3k ( k+1)

k^3 - k est divisible par 3 par hypothèse, 3k ( k+1) aussi donc la somme est divisible par 3 et p ( k+1) est vraie
5) P ( n) est donc vraie pour tout n entier naturel

Donc si j ai bien compris, est ce qu il fait toujours en derniere etape justifier en prenant k+1 ? ??????

Oui, en gros :
1) Tu formules ta proposition et tu définis l´ensemble sur lequel elle est vraie
2) Tu vérifieS qu´elle est vrai pour le 1er élément de l´ensemble ( N0 = 0)
3) Tu supposes qu´elle est vraie pour l´élément k de ton ensemble
4) A partir de l´hypothèse du 3) tu montres que c´est vrai pour l´élément k+1 de l´ensemble
5) Tu formules ta conclusion à savoir que la proposition est vraie pour tout élément de l´ensemble

MERCIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII : ) TOUT EST CLAIR MAINTENANT ! !!!! encore merci

De rien
Bonne chance pour la suite
@ +