Salut tout le monde,

j´ai un devoir à rendre demain et j´ai quelques problèmes....

On considère la fonction f définie sur R\{-2} par:

f(x)= - ( x²+3x+3)/(x+2)

et on appelle C sa courbe représentative dans un repère ( O,i,j) orthonormal.

1° a) Déterminer les limites de f en +infini et en -infini.
b) Déterminer les limites de f en -2. Quelle est la conséquence graphique du résultat obtenu?

2° Déterminer les réels a,b et c tels que, pour tout x différent de -2, on ait:
f(x)=ax+b+(c/(x+2))
En déduire que C a une asymptote oblique en +infini et en -infini.

3° Calculer la dérivée de f et étudier les variations de f. Dresser le tableau de variations, complété par les limites tourvées dans la question 1.

4° Soit S le point de coordonnées ( -2,1). Démontrer que S est centre de symétrie de C.
Construire C et ses asymptotes dans le repère ( O,i,j).

Merci de votre aide.

Qu´est-ce qui te pose exactement ?

Les questions qui me posent problème sont la 2° et la 4°.

Euh, ben la 2/, ce n´est que du calcul...

Tu as f(x) = -(x²+3x+3)/(x+2)
et tu cherches a, b, c tels que f(x) = ax+b+(c/(x+2)).

Il suffit de ré-écrire la seconde relation sous la forme de le première.

ax+b+(c/(x+2)) = [(ax+b)*(x+2)+c]/(x+2)
tu développes le numérateur, puis il faudra identifier les coefficients de x², x et le coefficient constant avec les valeurs de f.

Ok ?

Il me semble que j´ai capté, merci de ton aide.

Et pour la 4?

Pour la quatrième question, je crois qu´il faut vérifié que si M(x,y) est un point de C, alors le point M´(x´,y´) tel que x´=-x-2 et y´=-y+1 est aussi un point de C. ( Il suffit de faire le calcul)

Par contre, il vaudrait mieux que tu vérifies avant ce que j´ai indiqué pour x´ et y´, car je ne connais pas de formule par coeur ( j´ai juste fait un figure pour retrouver la relation, mais tu as sûrement une note de cours là-dessus quelque part dans ton livre....)

Je viens de faire la 2° et je trouve:

( ax²+2ax+bx+2b+c)/(x+2)

J´en fait quoi de tt ça?

ax²+2ax+bx+2b+c = ax²+ ( 2a+b)x + ( 2b+c)

Or tu veux que ce soit égal à -(x²+3x+3)...

Il suffit maintenant d´identifier les coefficients.

f(x) = ax+b+c/(x+2) < =>
a = . ..
2a+b = . ..
2b+c = . ..

Et tu trouves a, b et c...

pour la 4 on ne peut pas montrer que S est un point de C car ces coordonnées sont ( -2,1) or -2 est une valeur interdite.....

Il n´est pas nécessaire que le point soit sur la courbe pour être un centre de symétrie.
Regarde la fonction inverse ( f(x)=1/x). L´origine du repère est un centre de symétrie, mais le point n´appartient pas à la courbe !

Don a,b et c sont égaux à quoi???...

Or tu veux que ce soit égal à -(x²+3x+3)...
On cherche a, b, c tels que :
f(x) = ax+b+c/(x+2)

Autrement dit :
-(x²+3x+3)/(x+2) = ax+b+c/(x+2)
donc : -(x²+3x+3)/(x+2) = [ax²+ ( 2a+b)x + ( 2b+c)]/(x+2)
ou encore, pour x différent de -2:
-x²-3x-3 = ax²+(2a+b)x+(2b+c)

Comme cela doit être vrai pour tout x différent de -2, cela revient à:
a = -1 , 2a+b = -3, et 2b+c = -3

J´espère que là tu sauras finir pour trouver a, b et c.

Merci de ton aide ; -)

J´ai trouvé ça fait -1 pour les trois.

Pour le centre de symetrie, tu as une formule il me semble.

Il faut que tu prouve que :

f(x-2) + f(-x-2) = 2 * ( 1)

Sachant que ( -2) et ( 1) sont les coordonnes de ton centre de symetrie.

La formule générale est la suivante :

f(x + a) + f(-x + a) = 2b, avec le point A(a;b) centre de symetrie.