Ouaip, je la sentais venir avant les vacances, enfin, et j’avais bien raison, si vous pouviez m’aider… ou au moin faire une partie, ça m’aiderais bcp

Des encadrements de e. Irrationalité de e

On se propose dans ce TD d’encadrer e à l‘aide de suites et de s’intéresser à la « vitesse » de convergence de ces suites.

A)Deux encadrements de e

f est la fonction définie sur ]-1 ; +inf [ par f(x) = ln(1+x) - x

1.)Etudiez les variation de f et déduisez-en que pour tout réel x > -1 , ln(1+x) < = x [1]

2.)n est un entier, n => 2
a/ Vérifiez que 1/n est dans l’intervalle ]0 ; 1[ et que –1/(n+1) est dans l’intervalle ]-1 ; 0[
b/ A l’aide de l’inégalité [1] , déduisez-en que :

ln(1+(1/n)) < = 1/n , puis que ( 1+(1/n))^n < = e

ln(n/(n+1)) < = -1/(n+1) , puis que ln(1+(1/n)) = > 1/(n+1) , et enfin que

( 1+(1/n))^(n+1) = > e

Ainsi, pour tout n = > 2 ; ( 1+(1/n))^n < = e < = ( 1+(1/n))^(n+1) [2]

3.)n est un entier, n = > 1, g est la fonction définie sur [ 0 ; 1 ] par :

g(x) = e^(-x) ( 1 + x/1! + x²/2! + . ........ + ( x^n)/(n!) )

et h la fonction définie sur [ 0 ; 1 ] par h(x) = g(x) + e^(-x) * ( (x^n)/n!)

a/ Etudiez les variations des fonctions g et h sur [0 ; 1]
b/ Déduisez-en que :

1+ 1/1! + 1/2! + …. + 1/n! < e < 1+ 1/1! + 1/2! + …. + 1/n! + 1/n! [3]

B)Irrationalité de e

Supposons e rationnel, e = p/q , avec p et q entier

1.)En multipliant les inégalités [3] par n! , prouvez que n!e est encadré strictement par deux entiers consécutifs a_n ( a indice n ) et ( a_n) +1 a_n < n!e < a_n +1

Aide : Si k < = n , alors k! divise n!

2.)a/ Prouvez que q < = n est impossible

Aide : tout nombre q < = n divise n! et donc ( n!e)/q est entier
b/ Déduisez-en que q > n que que soit l’entier n, n = > 1 . Concluez que e est irrationnel

C)Deux suites qui convergent vers e

On note u_n la suite définie pour n = > 2 par u_n=(1+(1/n))^n et
v_n la suite définie pour n = > 1 par v_n = 1+ 1/1! + ….+ 1/n!

1.)A partir des inégalités [2] et [3], déduisez que :
a/ u_n < = e < = u_n + ( 1/n)u_n , puis que 0 < = e – u_n < = 3/n

b/ v_n < e < v_n + 1/n! , puis que 0< e - v_n < 1/n!

2.) Déduisez-en que les suites u_n et v_n convergent vers e

c´est trop long ton truc, j´ai pas autant de temps a te consacrer.

Alors juste la 1ere question :
pour tout réel x > -1 , ln(1+x) < = x :

tu étudies la fonction d(x) = x - ln(1+x)
limit d(x), x-> -1 = +infini
tu étudies le tableau pour cette fonction en calculant :
d´(x) = 1 - 1/(1+x)

tu vas trouver que la fonction est décroissante de -1 à 0, et croissante de 0 à +l´infini.
Donc tu vas calculer son minimum en 0 :

d(0) = 0
donc tu peux affirmer que pour tout -1<x<+infini
d(x)>=0

donc que ln(1+x) < = x

CQFD

merci qd meme

Voilà, je reste bloquer sur la question A)3.) pcq, je sais pas du tout etudier les variation avec des factorielle, et des suite , donc voilà

Et B) je comprend rien, et enfin, la B)1) je pense pouvoir le faire, ms le 2), je n’y arrive plus du tout

Et donc voilà ou se trouvent mes difficulté

merci

je vais pas te le faire, parce que ce genre d´exo c´est trop chiant a tapé avec un clavier ( si ca j´avais un scan je l´aurai fais volontier mais j´en ai pas :/..)

3/ qd tu dérives le n! c´est comme une constante..tu t´en fou c´est une fonction de x et non une fonction de n.
si je dis pas de betises ( de tete dsl.. lol)
g´(x)=-e(-x)(x^n/n!) ( g´<0 | g(0)=1 | g(1)>0)

h´(x)=-2e(-x)(x^n/n!)+e(-x)(x^(n-1)/(n-1)!) ( vérifies celle ci, de tete des dérivées ca le fais pas trop lol)
( h´>0 | h(0)=1 h(1)>1..)
pour le b)
t´as 0<g(x)<1 qques soit x appartenant a [0;1]
--> e(-1)(1+1/1!+...+1/n!)<1
e(-1)>0 donc tu passes e(-1) de l´autre coté de l´inegalité et t´obtiens:
1+1/1!+1/2!+...+1/n!<e

ensuite t´as 1<h(x)
1<e(-x)(1+1/1!+...+1/n!+1/n!)..idem
t´obtiens
e<1+1/1!+1/2!+....+1/n!+1/n!
voila pour la 1ere partie..

B/2/a/
a_n < n!e < a_n+1
( heu sinon il y a une erreur soit ds ton sujet soit qd t´as recopié...mais tu n´as pas n!e/q entier mais seulement n!p/q entier...)
a_n et a_n+1 sont 2entiers consecutif...n!e est un entier également donc n!e est égal a a_n ou a_n+1 -> impossible car inégalité strict..

b/ dsl je sais pas trop comment l´expliquer pour du T°S lol si t´avais été en 1er semestre de fac je pense que j´aurai pu mais la..:/
en gros tu pourrai dire que plus n augmente, plus q augmente et qd n -> infini on ne peut plus écrire q..(difficil a expliquer comme ca m´enfin...)

B/2/a/ bon, j’ai vérifier, puis, j’ai bien recopier je vois bien ce que tu vx dire, pcq ( n!e)/q n’est pas forcément un entier si q < = n, alors que, si q < = n, alors n!e est un entier dans ce cas… ; ouaip donc ça prouve bien que q < = n est impossible

Puis pour la dérivé, j’ai tenté un truc, avec ce même raisonnement, mais, je me suis perdu, pcq j’ai considéré tout les terme dans ( 1+ x/1! + x²/2! + …… + x^n/n! ) puis, j’ai appliquer la formule des dérivés de multiplication u’v+uv’ , ça donne un truc immense et horrible pcq la dérivé de ( 1+ x/1! + x²/2! + …… + x^n/n! ) c’est bien ( 1 + 2x/2! + …… + nx/n! ) ? non ? enfin, je sais pas moi, mais c’est comme ça que je l’ai compris, c’est pour ça que je m’en sors pas, et j’ai pas compris comment ta fais pour dérivé…. Merci de bien vouloirs m’expliquer

pour le B/2/a/ possible que ton prof ait fais l´erreur..ca arrive

sinon pour la derivée oui..
( 1+ x/1! + x²/2! + …… + x^n/n! ) donne ( 1 + 2x/2! + 3*x^2/3!+ …… + nx^(n-1)/n! ) -> ( 1+x*1/1!+x^2*2/2!+...+x^(n-1)/(n-1)!)

( (x^n/n!)´ ( en fonction de x) -> n*x^(n-1)/n!= x^(n-1)/(n-1)! ) tu simplifies . .

en fait tu simplifies chaque terme..
pour expliquer simplement
u=e(-x)
v=( 1+ x/1! + x²/2! + …… + x^n/n! )
( uv)´=u´v+uv´
avec u´=-e(-x)
et v´=(1+x*1/1!+x^2*2/2!+...+x^(n-1)/(n-1)!)
tu fais les calculs et tu simplifies et tu devrais trouver je pense ce que j´ai trouvé
en fait ca se voit assez rapidement puisque tu auras les memes termes des 2cotés tu auras juste le x^n/n! en plus d´un coté..

ouaip, merci ma dérivé est completement fausse pcq j´oublier le n-1 a

( x^n/n! ) ´ = nx^n-1 / n

voilà, merci

fé chier, j´arrive toujours pas a conclure... a la question B/2/b/ . ....