calculer : an=1+2^3+3^3+....+n^3
( quelques essai et une récurence)

ca vous dit qqchose ?

Je te donne le résultat pour que tu puisses faire ta récurrence :

n²(n+1)²/4

Si tu veux une autre méthode, je peux t´en donner une plus astucieuse et généralisable. Sans détailler, il s´agit de considérer la somme des ( n+1)^4 au lieu des n^3, de développer par le binôme de Newton puis d´éliminer par dominos les termes en ^4. De cette manière, on n´a pas à intuiter la somme.

je ne suis pas sur d´avoir compris . ..

la somme des ( n+1)^4 ?
ca je ne comprend pas

n²(n+1)²/4

ca marche merci, mais comment as-tu fais pour trouver ( a première vue ca saute pas aux yeux...) ?

Hum...la caltos peut-être Sinon il faut essayer, c´est le problème de la récurrence !

Plus sérieusement, tu peux le trouver de manière systématique par la méthode suivante : ( je ne sais pas si ce sera très lisible, mais bon...)

Je note S(k^3,k,0,n)=0+1+2^3+...+n^3

somme des entiers k^3, k variant de 0 à n

( cela se rapproche de la notation TI pour la somme)

Considérons S((k+1)^4,k,0,n) = S(k^4,k,0,n)+ 4*S(k^3,k,0,n) + 6*S(k^2,k,0,n) + 4*S(k,k,0,n) + S(1,k,0,n)

( développement par la formule du binôme de Newton)

On fait tout passer du même côté ( sauf la somme des k^3):

1/4 *[S((k+1)^4,k,0,n) - S(k^4,k,0,n)- 6*S(k^2,k,0,n) - 4*S(k,k,0,n) - S(1,k,0,n)]= S(k^3,k,0,n)

Or,

S((k+1)^4,k,0,n) - S(k^4,k,0,n) = S([(k+1)^4-k^4],k,0,n)=(n+1)^4

Ou en explicitant sous une forme plus lisible :
1^4+2^4+3^4+...+(n+1)^4-0^4+1^4-2^4-...-n^4

ce qui fait bien ( n+1)^4 ( quasiment tous les termes se simplifient)

D´autre part, on connaît la somme des k et des k² ( au pire, pour celle des k², on utilise la même méthode mais en partant de la somme des ( k+1)^3)

S(1,k,0,n)=1+1+1+...+1 = ( n+1)

S(k,k,0,n)=1+2+3+...+n = n(n+1)/2

et S(k^2,k,0,n)=1+2²+3²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6

On remplace tout ça, on obtient :

S(k^3,k,0,n) = ( 1/4)*[(n+1)^4 - 6*n(n+1)(2n+1)/6 - 4*n(n+1)/2 - ( n+1)]

On développe tout et on simplifie :

S(k^3,k,0,n) = ( 1/4)*[n^4 + 2*n^3 + n^2]
S(k^3,k,0,n) = n²(n+1)²/4

Et voilà !

c net, précis, clair....
je n´ai qu´un mot a dire : merci !

" Hum...la caltos peut-être"
quelle calculette utilises-tu ?
Moi j´ai une TI-89, comment serait-il possible de trouver ce résultat avec ma calculette ?

cela pourrait m´éviter des déboires en DS.

Tu appuies sur F3 pour l´onglet " calc"

Ensuite c´est 4 pour somme.

Logiquement, cela t´affiche un truc du type

S(

mais avec un symbole somme ( sigma) à la place du S

Ensuite, tu complètes : S(k,k,1,n) puis entrée
La calculatrice te calcule la somme des entiers k, k variant de 1 à n.

Pour la somme des carrés, tu rentres S(k^2,k,1,n)

En fait, c´est S(ce_que_tu_veux_calculer , variable , cette_variable_démarrant_à , cette_variable_terminant_à)

c telment évident

oui ca je le savais déjà ( g qd meme lu un min du boukin de la caltos) !

mais est-il possible avec la calculette de trouver n²(n+1)²/4 à partir de 1+2^3+3^3+....+n^3 ?

Bah essayes !

magnifique !
je connaissais la fonction somme de la TI mais je ne pensais pas qu´elle pouvait donner le résultat sous cette forme.

Cela m´aurait éviter un topic !

merci bcp Jarozse !

De rien