J´ai un DM de maths qui vient de me tomber dessus et je dois le rendre vendredi arf!! ( gt pas au courant moi merde) si vous pouviez m´aider svp, paske là j´ai pas le tps de tout faire!
merci d´avance!!

exo1:
On considère un élément de M de l´ensemble M2(R) des matrices carrées d´ordre 2.On suppose que M satisfait auc deux conditions suivantes:
- M²+M=2I où I désigne la matrice unité de M2(R)
-M n´est pas de la forme cI, où c est un nombre réel
On note VM l´ensemble des éléments Z de M2(R) de la forme Z=xM+yI, où x et y sont des réels.

1)Dans cette question, on suppose que M est diagonalisable.Déterminer ses valeurs propres.Donner un exemple de matrices satisfaisant les 2 conditions.

2) Soit Z un élément de VM. Montrer qu´il y a unicité du couple ( x,y)tel que Z=xM+yI. On dira désormais que ce couple ( x,y) est associé à Z.

3) Montrer que si Z et Z´ appartiennent à VM, il en est de même pour le produit ZZ´.

4) Montrer que la matrice M possède une inverse qui appartient à VM, et déterminer le couple ( x,y) associé à l´inverse de M.

5)a) Soit A= µM+@I un élément de VM. Exprimer en fonction du couple ( µ,@) associé à A, le couple ( µ´,@´)associé au produit de MA. Montrer qu´il existe un élément D ( delta) de M2(R) que l´on déterminera tel que:
µ´ = D µ
@´ @ ( matrice).

b) Déterminer les valeurs propres et une base de vecteurs propres de la matrice D.
c) Soit n un nombre entier naturel. Déduire de ce qui précède le couple ( xn,yn) associé à M^n(^=puissance).

6) Trouver en déterminant les couples de nombres réels associés, toutes les matrices de VM égales à leur carré.

exo 2:
pour tout réel on considère la matrice A(a) de M3(R) suivante:
1 -1 a²
0 0 a² = A(a)
1 0 0

1) détermnier les valeurs propres de A(a) pour a réel.
2) étudier suivant les valeurs de a, l´inversibilité de A(a) dans M3(R).
3) On suppose dans cette question 3) seulement que : a différent de 0, 1 et -1.
a) Montrer que A(a) est diagonalisable.
b) Calculer pour chaune des valeurs prores de A(a), un vecteur prore de A(a) associé à cette valeur propre.
4) a) La matrice ( A(0))² est est diagonalisable?
b) Calculer ( A(0))², ( A(0))^3, et ( A(0))^n.

Exo3: ( NB: Int(a,b)= intégrale de a à b avec a>b, et _< ou _> c supérieur/inférieur ou égal)
On pose pour tout N*
In= Int(e,1) ( lnx)^n dx et I0=e-1

1) a) établir que pour N, In+1= e-(n+1)In
b) Montrer pour N: In>ou égal à 0
c) Déduire ainsi que 0_<In_< e/(n+1)
d) quelle est la limite de la suite ( In)?
e) Montrer que In~ e/n

2) Soit un réel différent de I0, on note ( un) la suite réelle définie par:
u0=a et un+1=e-(n+1)un
Montrer que la limite en +infini de |un| est +inf.
( on pourra considérer la suite ( Dn) de terme général Dn=|un-In|)

moi je ss seulement en 1ere si tu pouvais m´aider aussi ca serait sympa

j ai deja du mal a resoudre une equation a 2 inconues alors ca LOL

tellement c compliqué qu on dirait que tu l as inventé

inventé? lol c la meilleure de l´année ça!
si tu veux des probs comme ça va voir dans les annales pour prépa HEC!
^^

ca c du solide!

désolé vulk je ne peut pas t aider je ne suis qu´en termianle ES et je suis une quiche en maths dsl... mais je peux te trouver quelqu´un pour t aider...

C quoi HEC ? ??

c´est clair que au niveau d´étude ou tu est, ben, y a plus bcp de monde qui arrive a suivre

et moi qui croit compliquer ce que je fais....

je suppose que Galeul ou le-Spain pourrait le faire.... enfin, peut-etre

hum, pour les matrices ne peux pas aider, j´ai pas encore vu ( même si c´est au programme).

pour l´exo 3 , y´a peux-être une chance, mais pas le temps ce soir.

Moi chui en 2nde et je connais qu´une seule Matrice c´est celle de Morpheus et de son équipe...

va demander l´aide de kartapus,il doit pou´voir t´aider

Arf désolé je commence juste les valeurs propres et je n´ai pas encore vu la diagonalisation
Je peux par contre peut-être regarder l´exo 3 cet après-midi...

ça m´aiderait bcp !
^^

Bon j´avais tout tapé et mis par précautiion dans le presse-papiers et tout a planté

Bref, on recommence ! Mais en un peu plus succint ^^

Tout d´abord, justifier que ( In) est définie ( intégrabilité même si c´est évident)

1a)Intégration par parties avec u=(lnx)^(n+1) et v´=1, c´est immédiat.

b) Théorème intégrale d´un fonction continue positive

c) Un sens est fait directement d´après la b)
Pour l´autre, d´après la b) et l´hypothèse de récurrence, I(n+1)=e-(n+1)I(n)>=0, en passant de l´autre côté ça marche.

d) Théorème des gendarmes. I(n) tend vers 0 en l´infini

e) Là un doute m´assaille : est-ce qu´on voit le théorème de convergence dominée en prépa HEC ? Et puis je ne suis pas trop sûr de son emploi ici...

Si non, bah je n´ai pas d´autres idées désolé

Si oui, fais d´abord un changement de variable u=(lnx)^n, tu tombes ( de mémoire) sur I(n)=1/n*Int(u^(1/n)*exp(u^(1/n),u,0,1)

Théorème en n´oubliant pas toutes ses hypothèses ( domination, convergence simple...)

on obtient n*I(n)->e en l´infini, soit I(n)~e/n

2) On considère comme suggéré dans l´énoncé ( Dn) de TG D(n)=|u(n)-I(n)|

D(n+1)=|u(n+1)-I(n+1)|=(n+1)|u(n)-I(n)| d´après les définitions par récurrence de ( In) et ( un).

Par récurrence si tu veux, mais je pense que c´est suffisamment visible, on en déduit :

D(n+1)=(n+1)!*|a-I0|

Comme a<>I0, D(n) diverge vers +infini en l´infini.

Pour l´exo 2...je peux toujours te donner ce que je sais faire...

1) On calcule le polynôme caractéristique:

P(x)=-(x^3-x²-a²x+a²)

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique.

Donc les valeurs propres de A(a) sont 1,a,-a

2) Bon là c´est la machine qui m´a donné ça(calcul du déterminant) donc c´est plus une indication ( comme pour la question précédente d´ailleurs)

On calcule le déterminant: on obtien -a²

Donc A(a) est inversible ssi a<>0

3)a) A est diagonalisable ssi les racines du polynôme caractéristique sont distinctes et qu´il y en a 3.

Il y en a bien 3, et comme dans cette question a<>0,1,-1, elle sont bien toutes distinctes.

Donc A est diagonalisable.

Et puis pour après je n´ai pas trop le temps moi non plus

merci bcp gars!
au fait as tu une méthode pour calculer les racines d´un polynome de degré 3? voire de degré n?

je crois qu´à partir d´un certain degré ( 5 je pense) il n´y a pas de méthode pour calculer les racines d´un polynome!
mais c´est à confirmer!!
dsl j´aurais bien jeté un oeil sur tes exos mais j´ai un peu trop ( bcp trop?) de boulot!!

euh pour la tte première question une petite idée:
le polynome annulateur de M c´est X^2+X-2
donc ses racines sont les valeurs propres de M
bref rien d´extraordinaire, t´avais du surement déjà le trouver!!

Ca me fé penser ke ca fé belle lurette ke le spain na pas trainée dans les parages....