Voila, notre super prof de math nous a donner un dm de type.. pas bac, ms plutot entré en Prépa . .... donc

Une famille de courbes

Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul. On étudie la fonction f(n) définie sur R. ( n est en indice chaque fois qu’il est derrière la fonction f et g et autre.., c’est-a-dire f(n) et g(n) ) par :

f(n)(x) = xe^x-nx

On note C(n) sa courbe représentatif dans un repère orthonormal ( O ; i ; j ) .

A. Soit g(n) la fonction définie sur R par :

g(n)(x) = ( 1+x)e^x-n [ n n’est pas en indice et est bien séparé de l’exposant x]

1.)Déterminer la dérivée de g(n). Faire le tableau de variation de g(n) et déterminer les limites de g(n) aux bornes de son ensemble de définition.

2.)Montrer que g(n) s’annule pour une unique valeur a(n) , et que a(n) est positif ou nul [ a(n) , ici, le n est toujours en indice ]

3.)Montrer que a(n=)ln((n/(1+a(n)) , et 0<=a(n)<=ln(n) [n n’est pas en indice ]

4.)a)Montrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :

ln(x)<=x-1 (1)

b)Déduire de ( 1) le signe de g(n)(lnV(n) ) [bon, g(n) avec n en indice, et V(n) c’est racine de n )

c)Justifier que ( 1/2)ln(n)<=a(n)
Quelle sont les limites des suites de terme général a(n) et a(n)/n

Bon voilà, ce n’est que la partie A… merci a celui ou celle qui arrive a la faire….

ca ressemble un peu a un controle ke je vené de faire, où je me sui ramassé un 4.5/20 lol

, moi aussi, je v avoir un ds a la rentrée sur un autre ds le genre, ms le truc, c´est que je sais pas travailler avec x et n dans une meme expression.. comme la dérivé, je sais pas si en parlant de dérivé de " n", c´est 0 ou un 1 , les limite, je sais pas s´il faut dire que x tend vers l´infinieavec n qui tend vers l´infinie, ou s´il faut oublier n, voila, je sais pas me servir comme g dit de " x" et " n" ds une meme expression...

ué c bizare, en fait ds mon ds, g pa de n

dans ce cas, c plus facile alors . .....

a mon avis, n C une constante, donc en derivant ca devré faire n´=0, mé cuhi pa sur de moi

loool serieux . ..ca un exo type prépa...tu rigoles, attends de voir ce qu´on fais en prépa ou en fac et tu comprendras ce qu´est la prépa/fac...(comme le sujet du bac de math 2002-2003...soit-disant un sujet type 1ere année fac...si ca avait été le cas personne aurai eu plus de 3...)
c´est classique comme exo de T S , il n´y a rien de special, apparement le " n" te bloque, pourtant faut pas y preter une importance particulière, c´est comme si t´avais un " 4" a la place ( par exemple)
mets un chiffre a la place de n , fais l´exo et refais le de manière générale ensuite en remplacant le chiffre par n..et si tu bloques, donnes tes resultats et je t´aiderai, j´ai la flemme de faire un exo comme ca...c´est facil mais faut sortir un stylo lol

ouaip, ok, c´est ce que je pensais..... ms bon, comme ça doit faire la premiere fois que je vois une fonction comme ça, ben, tout n´est pas facile la premiere fois , bon, ben, vive le stylo...

puis, c type " entrée en prépa " et non prépa , donc ça veut dire qu´il faut savoir faire ça ( ou du moin, avoir une bonne idée de ce qu´il faut faire ) sinon, c pa la peine de pensait a la prépa....

Bonjour,
1)g_n est dérivable sur R et g´_n(x)=(x+2)e^x qui est du signe de x+2.
g_n estdonc strictement décroissante sur
]-inf;-2[ et strictement croissante sur ]-2;+inf[.
La limite en +inf de g_n est clairement +inf d´après les opérations usuelles sur les limites.
Pour la limite en -inf , il faut se rappeler que la limite en -inf de xe^x est 0 et comme
g_n(x)=e^x+xe^x-n la limite de g_n est -n.
Tu en déduis le tableau des variations.

2)sur ]-inf;-2], g_n est décroissante donc
g_n<-n<0
Sur [-2;+inf[ , g_n est continue strictement croissante , g_n réalise donc une bijection de
[-2,+inf[ sur g_n([-2;+inf[). Or 0 appartient à cet ensemble d´où la conclusion.
On a de plus g_n(0)=1-n<=0 d´où a(n)>=0.

3)on a g_n(a_n)=0=(1+a_n)*(e^a_n)-n d´où
e^a_n=n/(1+a_n) donc a_n=ln(n/(1+a_n))

On a a_n>=0 d´où n/(1+a_n)<=n d´où la conclusion car ln est croissante sur]0;+inf[.

4)a) Il suffit par exemple d´étudier les variations sur ]0;+inf[ de la fonction
h(x)=ln(x)-x+1.

b)g_n(ln(rac(n))=(1+ln(rac(n))*rac(n)-n
< =(1+rac(n)-1)*rac(n)-n=0
Ainsi g_n(ln(rac(n)))<=0.

c)D´après la question b) ln(rac(n))<=a_n d´où
1/2(ln(n))<=a_n.

D´après l´inégalité précédente la limite de a_n lorsque n tend vers +inf est +inf.

On a 1/2*((ln(n))/n)<=(a_n)/n<=(ln(n))/n
Or la limite de ln(n)/n lorsque n tend vers +inf est 0 ( limite de référence).
D´où théorème des gendarmes lim ( a_n)/n=0.

Je confirme ce qu´a dit buz-l-orage, cet exercice n´est pas un exercice de prépa. Les exercices de prépa sont plus difficiles et plus intéressants.

@+

moi qui voulait demander juste une choz sur l´exo. je me retrouve avec l´exo fait Merci... d´ailleur, j´ai aussi la partie B.....

Bon ben, si qqun se sent de faire aussi la partie B . .........

B.1°)a-)Déterminez la dérivée de f_n , En déduire les variations de f_n
b)Détermineer les limites de f_n aux bornes de son ensemble de définition
c)Montrer que f_n(a_n)= ( -n(a²_n))/(1+a_n)

2°)Montrer que C_n admet une asymptote D_n que l’on déterminera

3°)Déterminez les points d’intersection de C_n et de l’axe des abscisses, et préciser la position de C_n par rapport à cet axe

4°)Etudier les position relatives de C_n et C_n+1

5°)Montrer que 0.35<=a_2<=0.40

Déterminer les valeurs décimales approchées à 10^-2 près, par défaut et par excès de a_2

En déduire un encadrement de f_2(a_2)

Bonjour,
1)a)On a f´_n(x)=g_n(x) d´où f_n est décroissante sur ]-inf;a_n] et croissante sur [a_n;+inf[.

b) La limite en -inf de f_n est +inf car la limite en -inf de xe^x est 0.
On a f_n(x)=x((e^x)-n) d´où la limite de f_n en +inf est +inf d´après la limite d´un produit.

c)On a
f_n(a_n)=a_n*e^(a_n)-n*a_n=a_n*(n/(1+a_n))-n*a_n
=-n*a²_n/(1+a_n)

2)D_n : y=-nx est asymptote à C_n en -inf car
f_n(x)-y=x*e^x qui tend vers 0 en -inf.

3)f_n(x)=x*(e^x-n)=0 donc x=0 ou x=ln(n).
Sur ]-inf;0], f_n>=0
Sur [0;ln(n)], f_n<=0
Sur [ln(n);+inf[, f_n>=0

4)f_n(x)-f_(n+1)(x)=x d´où sur R- C_n est dessous de C_(n+1)
Sur R+, c´est le contraire.

5) On a g_2(0,35)<=0 et g_2(0,4)>=0 d´où
0,35<=a_2<=0,4
On trouve 0,37<=a_2<=0,38

f_2(a_2)=-2*a²_2/(1+a_2)

donc -2*0,38²/(1+0,37)<=f_2(a_2)
< =-2*0,37²/(1+0,38)

d´où-0,211<=f_2(a_2)<=-0,198

Voilà, j´espère que je ne me suis pas trompé dans les calculs.

@+

trop genereux

en effet buz-l-orage , il est vraiment trop généreux, et c´est pkoi je l´en remercie grandement

Bonjour,
Juste une petite remarque sur la dernière question.
On peut aussi remarquer que x->-2x²/(1+x)est décroissante sur [0,37;0,38] d´où
-0,2093<=f_2(a_2)<=-0,1998.
Ainsi on obtient si je ne me suis pas trompé dans les calculs une meilleure approximation.
Je ne sais quelle est la méthode que ta prof veut.

@+

Salut,
Je pense que la seconde méthode donnant une meilleure approximation est celle attendue par ta prof.
Bonnes fêtes à tous.

c un mec mon prof entre parenthese enfin, merci bcp

lol des exercices types prépa comme ca, je veux bien en avoir a tous les ds dis donc...