Soit E=M3(R), on considère les éléments suivants de E:
A= 2 2 1 et I= 1 0 0 ( 2 matrices)
-1 -1 -1 0 1 0
1 2 2 0 0 1

On note " f" l´endomorphisme de R^3 associé à la matrice A dans la base canonique de R^3.

1) " f" est il un automorphisme de R^3? Déterminer f^-1 ( PS: ^=puissance)

2) On considère les vecteurs suivants de R^3:
v1=(1,0,-1) v2=(1,-1,1) et v3=(0,1,-1)
a) montrer que ( v1,v2,v3) est une base de R^3.

b) En déduire qu´il existe une base de R^3, dans laquelle la matrice de f est:
B= 1 0 0
0 1 1
0 0 1

3) Calculer A²-2A+I

4) Soit F=vect(A,I)

a) vérifier que F est un espace vectoriel réel et en donner sa dimension
b) montrer que pour tout n€N, A^n € F ( on posera par convention, A^0=I)
c) Calculer explicitement A^n en fonction de n.

5) Soit ( Xn) n€N, la suite de matrices de M3(R) définie par: X0=A et la relation de récurrence:
pour tout n€N, Xn+1= [1/(n+1)]X²n +2I - A

a) montrer que pour tout n€N, il existe un unique couple ( pn,qn)€ R² tel que Xn= pnI+ qnA

b)Calculer pn et qn en fonction de n.

merde la matrice marche pas, alors je les mets là:

A=
2 2 1
-1 -1 -1
1 2 2

B=
1 0 0
0 1 1
0 0 1

ça fait un certain temps que je ne fais que de l´analyse ( je recommence l´algèbre d´ici une semaine ^^ ) , mais on va essayer :

Rappel :

La matrice de f signifie f(e1)=2e1-e2+e3; f(e2)=2e1-e2+2e3; f(e3)=e1-e2+2e3

1) Faut montrer que f est linéaire ( je ne sais pas trop, ça doit pouvoir se montrer en considérant f ( l*e1+m*e2+n*e3) et en montrant que c´est l*f(e1)+... avec la définition de la matrice) mais à mon avis c´est plus simple que ça.

f est un automorphisme ssi la matrice est inversible, cad ssi le déterminant est non nul
Bref, calcules-le.

Et pour f^-1 tu inverses la matrice.

2)a)Base : famille libre génératrice
-libre : Considère une combinaison linéaire des vi ( cad l1*v1+l2*v2+l3*v3) = 0 et montres que les li sont tous nuls ( ça débouche sur un sytème assez simples)
ou alors, dire que la famille est orthonormale, mais à ce moment-là, je me demande s´il ne faut pas introduire un produit scalaire pour le prouver ( ce genre de trucs doit être dans le cours sur les automorphismes orthogonaux)

Puis dire que c´est une famille libre à 3 éléments dans un espace de dimension 3, c´est donc une base ( c´est une famille libre maximale)

b) f(v1) = f(e1-e3)=f(e1)-f(e3) ( f linéaire)

Puis tu exprimes les f(ei) avec la matrice A comme dans mon rappel, puis tu réarranges pour faire apparaître des vi

Pour le v1, cela donne f(v1)=2e1-e2+e3-(e1-e2+2e3)=e1-e3=v1

D´où la première colonne de Mat(f,(v1,v2,v3) est [1;0;0]

3) C´est du calcul !

On obtient la matrice nulle.

A priori il faut en tirer des conclusions mais là je ne vois pas désolé ^^. Peut-être que I-A n´est pas inversible ?
Ah non : c´est que A² peut être exprimé en fonction de I et de A
A²=2A-I

4)a) Il s´agit de montrer que c´est un sev de R ( et donc par suite un ev réel)

0 € Vect(A,I)
Soit X,Y € Vect(A,I), X=aA+bI Y=cA+dI, on a X+Y € Vect(A,I) puisque X+Y=(a+c)A+(b+d)I
Idem soit l€R X € Vect(A,I), X=aA+bI, on a l*X € Vect(A,I) puisque l*X=(l*a)A+(l*b)I

J´ai fait cela parce qu´on demandait de vérifier, sinon, un sous-espace engendré ( Vect ) est un espace vectoriel par définition.

Il est de dimension 2 puisque ( A,I) est libre.

b) Par récurrence,

Initialisation : I, A € Vect(A,I)
Hérédité : On suppose la propriété vraie pour un n€N fixé, et montrons que, alors, la propriété est vraie au rang n+1

A^n = iA + jI
A^(n+1) = iA²+jA

Or A²=2A-I

D´où A^(n+1)= ( 2i+j)A - iI € Vect(A,I)

Youpi !

4)c) Par récurrence, montres que A^n = nA-(n-1)I

5) Heu...là je commence à avoir plus trop d´idées...

En vrac, j´aurais bien prouvé l´unicité en remplaçant Xn dans la formule de récurrence.
Montrer l´existence par récurrence à partir de X0 ?

Pour la dernière, là....

Bonne chnace !

merci bcp gars, en fait j´avais tout bon sauf pour la 4) b), je te remercie pour m´en avoir assurer.
Par contre je suis comme toi, je trouve pas la 5) b) ça m´énerve!!!

En tt cas merci bcp!
; )

la matrice . ..lol ! !!

MATRICE RELOADED

Ah Vulk..
C´est trop bête que je ne sois pas arrivée a temps,
je t´aurais fait tes exos avec grand plaisir !
^^

vulk c est ton prof de math qui te parle !

je vais te coller ! !!

ah non msieur, svp!!!

pour la 5-a/:
tu remplaces Xn par PnI+QnA dans ds la definition par rec de Xn+1...t´en deduis une forme en ( Qn+1)A + ( Pn+1)I...
tu devrais trouver qqchose du genre

Pn+1 = [(Pn)²-(Qn)²]/(n+1)+2

Qn+1 = [2*Pn*Qn + 2(Qn)²]/(n+1)-1

pour la 5b, utilises la recurrence, tu suppose Pn=n et Qn=1 qqsoit n..et tu démontres facilement ( j´ai une autre méthode, mais je suis vraiment pas certains que tu connaisses , surtt qu´il me semble que t´as pas fais une filière math)
enfin verifies qd meme un peu , c´est minuit un dimanche soir , j´ai pas la peche

Mah c trop simple, j´aaaaaaa oublié depuis lgts à faire za........ ^^