F ds R – { -1 }

F(x) = e^(-x) + ( 1-x)/(1+x)

1.étudiez les limites ( ça G fé )

2.Etudiez les variations. ( voilà, pour ça, j’arrive pas a faire la dérivée, en faite, G des gros trous de mémoire, et je sais meme plus comment ça marche les variation…. )

Voilà, juste un exo. de mon DM…… je demande a nouveau de l’aide

Pour la variation :
Si f est dérivable, tu calcules f´
Si f´>0 sur [a,b], alors f est croissante [a,b]
Si f´<0 sur [a,b], alors f est décroissante sur [a,b]

Evidemment, les intervalles peuvent être ouverts, ou une borne être l´infini.

f dérivable sur Df

Ici tu as une somme, comme la dérivée de la somme c´est la somme des dérivées :

f´(x)= -exp(-x) + ( (1-x)/(1+x))´

On applique la formule de dérivation d´un quotient

( u/v)´=(u´v-v´u)/v²

( (1-x)/(1+x))´ = ( (-1)*(1+x)-(1-x)*1)/(1+x)²
= -2/(1+x)²

Soit f´(x)=-exp(-x) - 2/(1+x)²

en réduisant au même dénominateur

-((2*exp(x)+x²+2x+1)*exp(-x))/(x+1)²

( 2*exp(x)+x²+2x+1) est positif ( somme d´un carré et de exp qui sont > 0)

Donc sur ]-inf,-1[, f´<0 f est décroissante
sur ]-1,+inf[, f´<0 f est décroissante

Enfin, on met tout les résultats dans un tableau avec les limites.

clair, net et sans bavure merci

ouai, je m´en souvien comment ça marche, ms avant, je savais meme plus si on pouvait regarder le signe d´une dérivé rien qu´avec une somme, enfin, en tout, k, ça va maintenant, merci;;;;..

C´est vrai qu´en théorie pour le signe de la dérivée, il faut mieux la mettre sous forme de produit.
Mais ici aussi, c´est le cas, cependant tu tombes sur une expression dont le signe est miraculeusement simple. Si ce n´avait pas été le cas, que tu as une expression un peu compliquée pour le savoir le signe, tu étudies cette expression sous la forme d´une fonction auxiliaire.