Allez courage JVmaster, tu va terminer ce Devoir Maison à la con ^^

Voilà je sais comment résoudre :
1+2+3+..+n²=n(n+1)/2

Mais comment on fait pour :
1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

Je n´arrive pas avec la même méthode !

Thanks.

c bizarre 2 secondes....

c´est bien de la récurence ?

Initialisation

pour n=0 dc, 0²=0
et 0(0+1)(2*0+1)/6 = 0/6=0

P vraie pour un certain rang n=o

Hérédité

1²+2²+3²+...+n²+(n+1)²

on sait que 1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

donc : ( (n(n+1)(2n+1))/6)+(n+1)²
= n(n+1)(2n+1)+6(n²+2n+1)/6 [ tou mis au meme denominateur et développer en meme temps

= ( 2n+1)(n²+n)+(6n²+12n+6)/6
= ( 2n^3+2n²+n²+n+6n²+12n+6)/6
= ( 2n^3+9n²+13n+6)/6

et verifion pour : n(n+1)(2n+1)/6 au rang n+1

( n+1)(n+2)(2n+3)/6
=(n²+3n+2)(2n+3)/6
=(2n^3+3n²+6n²+9n+4n+6)/6
=(2n^3+9n²+13n+6)/6

Propiété vrai au rang n+1 donc ta gagné

voila, cherche ton erreur a present...

Euh j´ai oublié de préciser qu´il faut démontrer que 1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
Donc au début on ne sait pas.

Kezako récurrence? ^^

ben je te les démontrer pour un certain rang n . ..

ensuite au rang n+1 pour dire que la propirété est toujours vrai

c´est de la récurence ce truc...

oups, t en 1er S ? ?

Qqn d´autre pour une autre méthode?
____
En déduire que :
1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
____

Svp merci.

Oui je suis en 1ere S

up

lol la recurence c a partir de la terminal S,
tu dit a ton prof ke t un surdoué

Une méthode marrante et généralisable:

On note S(k,k,1,n)=1+2+...+n

C´est juste pour simplifier.
Ainsi, 1^3+2^3+...+n^3=S(k^3,k,1,n)

Identité remarquable :
( k+1)^3=k^3+3k²+3k+1

S((k+1)^3,k,1,n)=S(k^3,k,1,n)+3S(k²,k,1,n)+3S(k,k,
1,n) + n ( on somme de 1 à n)

On met tous les termes que ne sont pas en k² à gauche, cela donne:

S((k+1)^3,k,1,n)-S(k^3,k,1,n)-3S(k,k,1,n)-n=3S(k²,
k,1,n)

Or S((k+1)^3,k,1,n)=S(k^3,k,2,n+1)

On remet dans l´égalité, on trouve

( n+1)^3-1^3-3*(n(n+1)/2)-n=3*(ce que tu cherches)

D´où Ce que tu cherches = 1/3[(n+1)^3-1-3/2*n*(n+1)-n]

qui fait bien n(2n+1)(n+1)/6 ! !!

Bon, je vais essayer de mettre sous une forme plus explicite les sommes..

On part toujours de la même chose:

( k+1)^3=k^3+3k²+3k+1

D´où, en sommant de 1 à n

[2^3+3^3+...+(n+1)^3]=[1^3+...+n^3]+3[1²+2²+...n²]
+3[1+2+...+n]+n

Le n vient du 1+1+1... n fois

Or [2^3+3^3+...+(n+1)^3]-[1^3+...+n^3]=(n+1)^3-1
( la plupart des termes se simplifient)

soit

3[1²+2²+...n²]=(n+1)^3-1-3[1+2+...+n]-n
[1²+2²+...n²]=1/3[(n+1)^3-1-3[1+2+...+n]-n]

Comme 1+2+...+n=n(n+1)/2

[1²+2²+...n²]=(1/6)*[2(n+1)^3-2-3n(n+1)-2n] ( réduction au même dénominateur)
=(1/6)*[n(2n²+3n+1)]
=(1/6)*n*(2n+1)*(n+1)

! !

oups, dsl, C un exo. de ds que G eu ça, . ... et ouai, la recurence, C de la terminale, dsl...

Bon allez je suis un surdoué, je vais mettre ça ^^

En tout cas merci les gars !

J´aurais quand même rajouté " pour un n fixé " au début de l´hérédité, parce que si " on sait que 1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6 " pour tout n, il n´y a plus rien à démontrer....

Jarozse Posté le 28 octobre 2003 à 09:51:38
J´aurais quand même rajouté " pour un n fixé " au début de l´hérédité, parce que si " on sait que 1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6 " pour tout n, il n´y a plus rien à démontrer....

C pour moi ce meesages ?

pcq G dit pour un CERTAIN rang n ( bon le =0 ne devait pas y etre ) . ....

Ah ok ! !

Mais tu l´a mis dans ton message d´après, pas dans ton message " réponse", c´est pourquoi j´ai cru que t´avais oublié cette phrase importante.

Mea Culpa !