Les suites u(n) et v(n) sont définies pour tout entier n, non nul, par :

u(n) = sin(1/n²)+sin(2/n²)+…+sin(n/n²)

et v(n) = ( 1/n²)+(2/n²)+....+(n/n²)

1.Prouvez que la suite v(n) converge vers 1/2
2.a) Prouvez que chacune des fonctions :

f : x |----> x-sin(x)
g : x |----> -1 + ( x²/2) + cos(x)
h : x |----> -x + ( x^3/6) + sin(x)

ne prend que des valeurs positives ou nulles sur l’intervalle [0 ; +inf [ . ( Vous pouvez utiliser les variations de chacune de ces fonctions.)

b) Justifiez que, pour tout n>0 ( ou supérieur ou égal à 1 , ce qui est la même chose ) :

1^3+2^3+….+n^3 < ( ou égal à ) n^4

Déduisez du a) l’inégalité :

V(n) – ( 1/6) * ( 1/n²) < u(n) < v(n)
pour tout n non nul ( à noter qu’il y a des inférieur ou égal, et pas strictement inférieur )

c) Prouvez que la suite u(n) est convergente. Quelle est sa limite ?

c terminal S ?
ca ressemble a un dm ke g fé ou g eu 6.5/20 lol

ouai, c de la terminal S, et apparemment, C de type BAC aussi....

Salut,
1) On a v(n) = ( 1/n²)*(1+2+...+n)=n(n+1)/(2n²) donc la limite de v(n) est 1/2.

2)a) On a f´(x) = 1-cos(x)>=0 donc f est croissante sur [0,+00[ donc f(x)>=f(0)=0 sur [0,+00[.
On a g´(x) = f(x)>=0 donc . ..
On a h´(x) = g(x)>=0 donc . ..

b)Se fait par récurrence.

D´après 2)a), on a x-x^3/6 < = sin(x) < = x pour x>=0.
D´où pour n entier > =1 et pour k entier tel que
1<= k < =n
( k/n²) - k^3/(6n^6) < = sin(k/n²) < = k/n²

D´où en sommant ces inégalités de k=1 à k=n on a
v(n)-(1/(6n^6))*(1^3+2^3+...+n^3)<=u(n)<=v(n)

or -(1/(6n^6))*(1^3+2^3+...+n^3)>=-n^4/(6n^6)

d´où v(n) - 1/(6n²) < = u(n) < = v(n)

c) Utilise le théorème des gendarmes pour prouver que la limite de u(n) est 1/2.

Voilà, j´espère que tu as compris.

@+

ouai, j´ai tout compris, et je te remercie

juste une derniere question, tu a dit que le 2.b) il fo utiliser la récurrence, ms j´arrive pas a la faire.... donc voila, c´est la derniere question pertinente qui me reste...

en tout cas, Grand merci pour tous les autres question...

Bonjour,
On va montrer par récurrence que pour n>=1 on a:
1^3 + 2^3 +...+ n^3 < = n^4

Pour n=1 on a 1^3 < = 1^4. La propriété est vérifiée au rang 1.

Supposons que pour un n>=1 on ait :
1^3 + 2^3 +...+ n^3 < = n^4

Alors:
1^3 + 2^3 +...+ n^3 + ( n+1)^3 < = n^4 + ( n+1)^3

Or n^4+(n+1)^3 = n^4+n^3+3n²+3n+1 et
( n+1)^4 = n^4+4n^3+6n²+4n+1

Donc ( n+1)^4-n^4-(n+1)^3 = 3n^3+3n²+n > =0
Ainsi n^4 + ( n+1)^3 < = ( n+1)^4
et 1^3 + 2^3 +...+ n^3 + ( n+1)^3 < = ( n+1)^4

La propriété est donc démontrée par récurrence.

N´hésite pas à me poser d´autres questions si tu n´as pas compris.

@+