EXERCICE I
Considérons l´écoulement d´eau d´un robinet à débit constant. Lorsque l´eau qui s´écoule n´est pas turbulente, le jet possède sur une certaine longueur une forme stable bien régulière : quelle est cette forme ? Si on regarde cet écoulement, voit-on un ruban de largeur constante ? L´observation montre que le « ruban » va en s´amincissant vers le bas. On veut étudier ce phénomène.
Supposons que le robinet se termine par une partie cylindrique de rayon intérieur ro. Désignons par vo la vitesse de l´eau à la sortie. Alors, le débit du robinet, c´est-à-dire le volume d´eau qu´il expulse par unité de temps, vaut D = π vo ro² .
Nous supposons ce débit constant. On peut à ce stade comprendre qualitativement pourquoi le ruban va en s´amincissant : si le débit est constant, comme la vitesse de l´eau augmente ( « l´eau tombe »), le rayon diminue. Plus précisément : dès sa sortie du robinet, l´eau est en chute libre et pendant quelques instants, on peut négliger les forces de frottement. La vitesse à l´instant t et la distance x(t) parcourue par une molécule d´eau s´écrivent respectivement, en prenant x(O) = 0
v(t) =gt+ vo et x(t)=2gt²+ vot
1) D´abord en exprimant la vitesse en fonction de x et ensuite en exprimant que le débit est constant à toutes les abscisses ( il n´y a nulle part accumulation d´eau) montrer que le rayon
du « ruban d´eau » est donné, en fonction de x par : v(x) = ro ( 1 + ax)^(-¼) , en prenant a = 2g/V0²
Cas particulier : on considère que vo = 1 m/s et que g = 9,81.
2) Etudier et représenter graphiquement v(x) pour x compris entre 0 et 1.
3) Pour quelle valeur de x le rayon du jet d´eau est-il divisé par 2 ? ( On pourra s´aider d´une
lecture graphique mais on répondra à cette question par une méthode algébrique).
