Alors c´est un exercice niveau Seconde :

Démontrer que pour tout réel x, f(x+4Pi)=f(x)

f(x)=1+2sin(x/2)

Comment on fait?

f(x+4Pi) = 1+2sin[(x+4Pi)/2]
= 1+2sin[(x/2)+2Pi]

= 1+2[sin(x/2)*cos(2Pi)+sin(2Pi)*cos(x/2)]

Or cos(2Pi)=1 donc sin(x/2)*cos(2Pi)=sin(x/2)
De plus sin(2Pi)=0 donc sin(2Pi)*cos(x/2)=0

D´où :

f(x+4Pi) = 1+2sin(x/2)

__________________
! !
DONC ! f(x+4Pi) = f(x) !
! __________________!

f(x+4Pi)=1+2sin(x/2+2Pi)
Or sin est modulo Pi, donc pour tout réel y
sin(y+2Pi)=sin(y)
f(x+4Pi)=1+2sin(x/2+2Pi)=1+sin(x/2)=f(x)

je vous remercie