si quelqu´un pouvait m´aider sur cet exo ( ne serait-ce que me donner une piste pour commencer )

Soit A appartenant à M4(K) ( matrice carrée d´ordre 4 ) telle que A^2 n´est pas nulle et A^3=0

rg(A) ?

merci d´avance...

je fais un peu de matrice mais à quoi correspond rg ( A)?

rg(A)= rang de la matrice A
c´est à dire
- rg(f) où f est l´application canoniquement associée à la matrice
- dim ( Vect(f(e1),f(e2),f(e3),f(e4)) où e1...e4 sont les vecteurs de la base canonique de K^4

voilà tout ce que me dit mon joli cours sur le rang des matrices

Ta matrice est une matrice nilpotente d´ordre 3. Essaie cette piste. J´ai essayé mais j´ai pas trouvé mais je suis certain que c´est dans cette voie qu´il faut chercher. Il faut certainement trouver une propriété des endomorphismes nilpotents mais y en a pas mal. Pour info, t´es en quelle classe??

pour info, en MPSI
en tout cas merci pour ce début d´aide : o)

Je suis désolé c´est un peu maigre mais je continue de chercher et je te dis si j´arrive à trouver. Si t´as la solution ca m´interesserait de la connaître.

dans mon bouquin il parle de base attachée à un endomorphisme nilpotent
ça peut peut-être servir

soit E un espace de dimension finie n
soit f appartenant à L(E) tel que f^(n+1)différent de 0 et f^n=0
mq il existe a appartenant à E tq ( a,f(a),...,f^(n+1)(a))est une base

bon, ça marche pas car les indices ne correspondent pas
je vais voir si je peux adapter l´exo pour trouver...

pff vous êtes des esclaves du système les gars

Ca y est j´ai trouvé. Le rang c´est 2
Pour le montrer tu considères l´application u associée à la matrice A et comme A^2 est non nul, il existe un vecteur x0 tel que u^2(x0) est non nul. Ensuite tu montres que la famille
( x0, u(x0), u^2(x0)) est une famille libre . Donc tu peux la completer en une base et tu appelles y le vecteur qui permet de completer. puis tu écrit la matrice dans cette nouvelle base. Tu dois obtenir un truc du la forme:
0 0 0 a
1 0 0 b
0 1 0 c
0 0 0 d

Ensuite tu calcules A^3 et tu trouves que d=0. Enfin tu écris que u(y) = a*x0 + b*u(x0) + c*u^2(x0) et en composant avec u^2 tu trouves
u^3(y) = a*u^2(x0) + b*u^3(x0) + c*u^4(x0)
Et u^3(y) = u^3(x0) = u^4(x0) = 0 ( par hypothese) et comme u^2(x0) est non nul tu as necessairement a=0
D´ou ta matrice A est semblable à
0 0 0 0
1 0 0 b
0 1 0 c
0 0 0 0
Les deux dernières colonnes sont combinaisons linéaires des deux premières donc le rang c´est 2 ( car le rang de deux matrices semblables est le même)

mille mercis pour ta résolution ! !!
; )