Soit ABC triangle et K milieu de [AB]

Construire D,E,F et H définis par :
La je donne des égalités vectorielles

AD + 3DC = 0
AE + 3BE = 0
3 AF + FB = 5AC
AH - BH + 2CH = 0

En fait faut trouver une égalité simple pour poubvoir faire la figure facilement

Bon deuxième question (toujours des trucs vectoriels)
Calculer les vecteurs
DF, DE, CK,BE, BK et AH en fonction de AB et AC

Démontrer que les points D, E et F sobt alignés.
que (CK) est parallèle à (DE)
que E est le milieu de [BK]
que le quadrilatère ADFH est un parallélogramme

up

1°)
AD + 3DC=0
AD=3CD
AD=3CA +3AD
-2AD=3CA
AD=-3/2 CA=3/2 AC

AE+3BE=0
AE=-3BE
AE=-3BA -3AE
4AE=-3BA
AE=-3/4 BA=3/4 AB

3AF+FB=5AC
3AF+FA+AB=5AC
3Af-AF=5AC-AB
2AF=5AC+BA

AH-BH+2CH=0
AH+2CA+2AH=Bh
3AH-BH=-2CA
3AH-BA-AH=2AC
2AH=2AC-BA
2AH=2AC+AB
AH=AC+ 1/2 AB
Voilà pr la 1° partie

Ensuite,on a:
DF=DA+AF=-AD+AF (utilisation des calculs d´avt)
DF=-(3/2AC)+5/2AC+1/2BA
DF=AC+ 1/2BA

DE=DA+AE
DE=-3/2AC + 3/4 AB

CK=CA+AK
Or K milieu de AB dc AK=1/2AB
CK=CA+1/2AB

BE=BA+AE
BE=BA+3/4AB

BK=BA+AK
BK=BA+ 1/2AB

AH=AC+ 1/2BA (voir 1°partie)

Montrons que D, E,F st alignés
Montrons que les vecteurs DE et DF st colinéaires ( DE=kDF)
DE=-3/2AC+3/4AB

DF=DE+EF=-3/2AC + 3/4AB +EA+AF
DF=-3/2AC + 3/4AB -AE +AF
DF=-3/2AC + 3/4AB -3/4AB +5/2AC + 1/2BA
DF=AC -1/2AB
DF=-2/3 ( 3/2AC + 3/4AB)
DF=-2/3 DE
Dc DE et DF st colinéraires dc D,E,F alignés

Montrons que CK // DE
Pareil, il suffit de montrer que CK et DE st colinéraires
CK=CA+ 1/2AB= -AC + 1/2AB
DE=-3/2 AC + 3/4AB

Si on multiplie CK par 3/2, on retrouve DE
D´où DE=3/2 CK
Dc DE et CK st colinéaires
Dc DE//CK

Ouin merci spain t un god et en plus t sympa davoir pris la peine de répondre !
encore merci !

Montrons que E milieu de BK
E milieu de BK signifie que BE=1/2BK

BE=BA+ 1/2AB=-AB + 1/2AB=-1/2AB ( dsl c que maintenant que je m´aperçois de la simplification...)

BK=BA+3/4AB=-AB+3/4AB= -1/4AB

Pr passer de BE à BK il suffit de multiplier par 1/2

D´où BE=1/2BK

On termine par le parallélogramme...
Même chose, montrer que AD et FH st colinéaires

AD=3/2AC

FH=FA+AH=-AF+AH
FH=-5/2AC -1/2BA +AC + 1/2BA
FH=-AC
Il suffit de multiplier par -2/3 pr retrouver AD

D´où FH=-2/3 AD
Les vecteurs FH et AD st colinéaires dc le quadrilatère ADFH est 1 parallèlogramme.
Voilà c fini!
Si t´as besoin de + d´explication, n´hésite pas . ..

POur la dernier question faut pas montrer aussi que AH et fed sont colineaires ?
car si AD et FH sont colinéaires ca peut aussi faire un trapèze (reponds moi car je flote en math)