Alors voici un super exo (3 étoiles ! lol!! et je dois dire que je bloque mais quelque chose de bien.... (un peu malade aussi le prf là...) Donc là j´ai besoin de bon en maths... c´est parti :
L´objet de ce problème est l´étude de quelques propriétés des fonctions fn, n €N non nul, définies sur l´intervalle ]0;+ infini[ par :
f(n)= x-n-(n ln x)/(x)
La courbe représentative de f(n) dans le plan muni d´un repère orthonormal (O,i,j) est appelé Cn.
A) Etude des variations de f(n), avec n € N non nul.
1) Soit, pour tout entier naturel n non nul, la fonction g(n) définie sur l´intervalle ]0; + infini[ par :
gn(x)=x²-n+nlnx
a) Etudier le sens de variation de gn et préciser ses limites en o et +infini.
b) Montrer que l´équation gn(x)=0 admet une solution unique notée alpha de n et que cette solution appartient à l´intervalle [1;3]

2)a) Etablir que, pour x dans ]0; + infini[
f´n(x)=(gn(x))/x²
b) Déterminer le signe de gn(x) et en déduire le sens de variation de fn

3)a) Déterminer les limites de fn en o et en +infini
b) Montrer que la droite Dn, d´équation y=x-n, est asymptote à la courbe Cn, puis étudier la position de cn, par rapport à Dn sur l´intervalle ]0; +infini[

B) Etude des cas particuliers n=1 et n=2
1) alphan etant le nombre en A 1) montrer :
-pour n=1, alpha1=1
-pour n=2, 1.2<alpha2<1.3

2) En utilisant les régles sur les inégalités et l´encadrelent de alpha2 ci dessus montrer que :
f2(alpha2)>ou égale -1.24
En utilisant le sens de variation de f2, montrer que :
f2(alpha2)<ou égale -1.10

3) Donner les tableaux de variation de f1 et de f2

4) Représenter dans le même repère les droites D1, et D2 puis les courbes C1 et C2

C) Etude des positions relatives des courbes Cn

1) Pour tout entier naturel non nul n et pour tout réel x de l´intervalle ]0;+ infini[ calculer la différence fn(x)-fn+1(x)
Calculer la limite de cette différence lorsque x tend vers +infini

2) Soit d la fonction définie sur l´intervalle ]0;+infini[ par d(x)=1+(lnx)/(x)
a) Etudier les variations de d, préciser ses limites eb 0 et en +infini
b) Déduire de la question précédente que l´équation d(x)=0 admet une solution unique béta et que béta appartient à l´intervalle ]0;1[
c) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a fn(béta)=béta

3) A l´aide des résultats obtenus dans les questions. C. 1) et 2) établir que toutes les courbes Cn se coupent en un point A que l´on placera sur la figure. Pour n € N non nul, préciser les positions relatives de Cn et de Cn+1

Voilà pas mal comme exo non???

Celui-là, je l´avais fait l´année dernière pendant les vacances....Il est un peu long donc je vais abrèger ( et puis faut pas que je fasse tout )

A) 1) On étudie une fonction auxiliaire gn :
a) Qqsoit x € Dg, gn est dérivable car somme de fonctions dérivables sur Dg, et
gn´(x) = 2x + n/x

n € N, donc Qqsoit x € ]0,+infini[, gn´(x)>0
Tableau de variations
en précisant les limites ( évidentes ) : -infini en 0 et + infini en + infini

b) gn est strictement croissante et dérivable sur Dg donc admet une bijection.....

f(1)=<0=<f(3) donc, g étant croissante, 1=<alpha=<3

2a) Ne pas oublier la dérivabilité
b) d´après la question 1) gn(x)>0 pour x>alpha ( car g est strictement croissante ) et gn(x)<0....

Grâce à un tableau de signes, on en déduit le signe de fn´(x) et donc les variations de fn

3) a) lnx/x --> 0 en +infini et --> -infini en 0 d´où....( attention au - n devant )

b)comment montre-t-on qu´une droite est asymptote ?

En formant fn(x)-Dn(x) en étudiant son comportement en + infini ( en gros sa limite )
Cette différence tend vers 0 donc c´est bien une aymptote.

Pour la position de la courbe, il faut étudier le signe de cette différence :

-nln(x) / x : pour x < 1, ln(x) < 0, -nln(x)>0... Dn est en-dessous de Cn
De même pour x > 1.... Dn est au-dessus de Cn

Pour les suivantes, c´est toujours le même principe : limites toutes bêtes ( si si ), dérivées ( sans oublier la dérivabilité ), bijection et position relative

Voilà ! NB : dans le premier message, j´ai écrit f(1)=<0=<f(3) mais c´est gn(1)=<0=<gn-=(3), donc gn étant croissante....

Ok merci pour ton aide...ça va bien décanter le prob....